Tentukan nilai a dan b agar kurva g(x)=x^3+ax^2+bx turun

a = -2, b = 1

Pembahasan

Untuk menentukan nilai a dan b agar kurva g(x)=x^3+ax^2+bx turun dalam interval 1/3 < x < 1, kita perlu menggunakan turunan pertama dari fungsi g(x). Fungsi g(x) akan turun jika turunan pertamanya, g'(x), bernilai negatif.

Langkah 1: Cari turunan pertama dari g(x).
g(x) = x^3 + ax^2 + bx
g'(x) = 3x^2 + 2ax + b

Langkah 2: Tentukan kondisi agar g(x) turun.
Kurva turun ketika g'(x) < 0.
Jadi, kita perlu 3x^2 + 2ax + b < 0 untuk interval 1/3 < x < 1.

Ini berarti bahwa parabola y = 3x^2 + 2ax + b harus berada di bawah sumbu x pada interval (1/3, 1).
Hal ini dapat terjadi jika akar-akar dari persamaan kuadrat 3x^2 + 2ax + b = 0 berada di luar interval (1/3, 1) atau jika kedua akar berada di dalam interval tersebut dan parabola terbuka ke bawah (yang tidak mungkin karena koefisien x^2 adalah positif).

Kemungkinan lain adalah bahwa interval (1/3, 1) terletak di antara dua akar dari g'(x) = 0, atau salah satu akar berada di dalam interval dan akar lainnya di luar.

Mari kita analisis kasus di mana interval (1/3, 1) berada di antara dua akar dari g'(x) = 0. Ini berarti g'(1/3) > 0 dan g'(1) > 0, serta nilai minimum dari g'(x) (terjadi di x = -2a/6 = -a/3) berada di bawah 0.

Atau, jika interval (1/3, 1) adalah interval di mana g'(x) negatif, maka g'(1/3) = 0 dan g'(1) = 0 adalah akar-akarnya.

Jika 1/3 dan 1 adalah akar dari g'(x) = 0, maka:
g'(x) = k(x - 1/3)(x - 1)
Karena koefisien x^2 dari g'(x) adalah 3, maka k = 3.
Jadi, g'(x) = 3(x - 1/3)(x - 1)
g'(x) = 3(x^2 - x - 1/3x + 1/3)
g'(x) = 3(x^2 - 4/3x + 1/3)
g'(x) = 3x^2 - 4x + 1

Dengan membandingkan g'(x) = 3x^2 + 2ax + b dengan g'(x) = 3x^2 - 4x + 1, kita dapatkan:
2a = -4  => a = -2
b = 1

Sekarang kita periksa apakah dengan a = -2 dan b = 1, fungsi g(x) turun dalam interval 1/3 < x < 1.
Jika a = -2 dan b = 1, maka g'(x) = 3x^2 - 4x + 1.
Kita ingin g'(x) < 0 pada interval (1/3, 1).
Akar-akar dari g'(x) = 0 adalah x = 1/3 dan x = 1.
Karena koefisien x^2 positif (3), grafik g'(x) adalah parabola yang terbuka ke atas. Ini berarti g'(x) positif untuk x < 1/3 dan x > 1, serta negatif untuk 1/3 < x < 1.

Jadi, dengan a = -2 dan b = 1, fungsi g(x) memang turun dalam interval 1/3 < x < 1.

Kesimpulan: nilai a = -2 dan b = 1.