Tentukan luas daerah penyelesaian dari sistem

14.5

Pembahasan

Untuk menentukan luas daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan:
X + 5y >= -2
3x - 2y >= -6
X <= 3
Y <= 3

Langkah 1: Gambarkan garis batas untuk setiap pertidaksamaan.
1.  X + 5y = -2
    Jika X = 0, 5y = -2 => y = -2/5. Titik (0, -2/5).
    Jika y = 0, X = -2. Titik (-2, 0).
2.  3x - 2y = -6
    Jika X = 0, -2y = -6 => y = 3. Titik (0, 3).
    Jika y = 0, 3x = -6 => x = -2. Titik (-2, 0).
3.  X = 3 (garis vertikal)
4.  Y = 3 (garis horizontal)

Langkah 2: Tentukan daerah penyelesaian untuk setiap pertidaksamaan.
1.  X + 5y >= -2: Uji titik (0,0). 0 + 5(0) >= -2 => 0 >= -2 (Benar). Daerahnya adalah di atas atau di sisi garis X + 5y = -2 yang mengandung (0,0).
2.  3x - 2y >= -6: Uji titik (0,0). 3(0) - 2(0) >= -6 => 0 >= -6 (Benar). Daerahnya adalah di bawah atau di sisi garis 3x - 2y = -6 yang mengandung (0,0).
3.  X <= 3: Daerah di sebelah kiri atau pada garis X = 3.
4.  Y <= 3: Daerah di bawah atau pada garis Y = 3.

Langkah 3: Cari titik potong antara garis-garis batas yang relevan.
    Titik potong antara X + 5y = -2 dan 3x - 2y = -6:
    Kalikan persamaan pertama dengan 3 dan kedua dengan 1:
    3X + 15y = -6
    3X - 2y = -6
    Kurangkan persamaan kedua dari yang pertama:
    (3X + 15y) - (3X - 2y) = -6 - (-6)
    17y = 0 => y = 0.
    Substitusikan y=0 ke X + 5y = -2 => X + 0 = -2 => X = -2. Titik potongnya adalah (-2, 0).

    Titik potong antara X + 5y = -2 dan X = 3:
    3 + 5y = -2 => 5y = -5 => y = -1. Titik potongnya adalah (3, -1).

    Titik potong antara 3x - 2y = -6 dan Y = 3:
    3x - 2(3) = -6 => 3x - 6 = -6 => 3x = 0 => x = 0. Titik potongnya adalah (0, 3).

    Titik potong antara X = 3 dan Y = 3: (3, 3).

Langkah 4: Identifikasi daerah penyelesaian yang dibatasi oleh titik-titik potong dan garis X<=3, Y<=3.
Daerah penyelesaian adalah poligon yang dibentuk oleh titik-titik sudut yang memenuhi semua kondisi.

Titik sudut yang mungkin:
    A = (-2, 0) (Potongan 3x-2y=-6 dan X+5y=-2)
    B = (3, -1) (Potongan X+5y=-2 dan X=3)
    C = (3, 3) (Potongan X=3 dan Y=3)
    D = (0, 3) (Potongan 3x-2y=-6 dan Y=3)

Sekarang kita perlu memeriksa apakah semua titik ini memenuhi semua pertidaksamaan.
    A(-2, 0):
        X+5y >= -2 => -2+0 >= -2 (Benar)
        3x-2y >= -6 => -6-0 >= -6 (Benar)
        X <= 3 => -2 <= 3 (Benar)
        Y <= 3 => 0 <= 3 (Benar)
A adalah titik sudut.

    B(3, -1):
        X+5y >= -2 => 3+5(-1) >= -2 => 3-5 >= -2 => -2 >= -2 (Benar)
        3x-2y >= -6 => 3(3)-2(-1) >= -6 => 9+2 >= -6 => 11 >= -6 (Benar)
        X <= 3 => 3 <= 3 (Benar)
        Y <= 3 => -1 <= 3 (Benar)
B adalah titik sudut.

    C(3, 3):
        X+5y >= -2 => 3+5(3) >= -2 => 3+15 >= -2 => 18 >= -2 (Benar)
        3x-2y >= -6 => 3(3)-2(3) >= -6 => 9-6 >= -6 => 3 >= -6 (Benar)
        X <= 3 => 3 <= 3 (Benar)
        Y <= 3 => 3 <= 3 (Benar)
C adalah titik sudut.

    D(0, 3):
        X+5y >= -2 => 0+5(3) >= -2 => 15 >= -2 (Benar)
        3x-2y >= -6 => 3(0)-2(3) >= -6 => 0-6 >= -6 => -6 >= -6 (Benar)
        X <= 3 => 0 <= 3 (Benar)
        Y <= 3 => 3 <= 3 (Benar)
D adalah titik sudut.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah sebuah poligon dengan titik-titik sudut A(-2, 0), B(3, -1), C(3, 3), dan D(0, 3).
Ini adalah sebuah trapesium.

Langkah 5: Hitung luas daerah trapesium.
Kita bisa membagi trapesium menjadi sebuah persegi panjang dan dua segitiga, atau menggunakan rumus luas trapesium jika kita bisa mengidentifikasi sisi-sisi sejajarnya.

Cara lain: Gunakan metode Shoelace formula atau bagi menjadi bentuk yang lebih sederhana.
Mari kita bagi menjadi: sebuah persegi panjang dengan titik (0,0), (3,0), (3,3), (0,3) dan beberapa bagian lainnya. Atau lebih mudah, bagi menjadi trapesium ADX'X'' dan trapesium BCX'X'' di mana X' dan X'' adalah proyeksi pada sumbu x.

Cara yang lebih mudah adalah memecahnya menjadi sebuah persegi panjang dan dua segitiga atau menggunakan integral, atau metode Shoelace formula.

Metode Shoelace Formula:
Urutkan titik-titik secara berlawanan arah jarum jam:
A(-2, 0), D(0, 3), C(3, 3), B(3, -1).

Luas = 1/2 | (x1y2 + x2y3 + x3y4 + x4y1) - (y1x2 + y2x3 + y3x4 + y4x1) |
Luas = 1/2 | ((-2*3) + (0*3) + (3*(-1)) + (3*0)) - ((0*0) + (3*3) + (3*3) + (-1*(-2))) |
Luas = 1/2 | (-6 + 0 - 3 + 0) - (0 + 9 + 9 + 2) |
Luas = 1/2 | (-9) - (20) |
Luas = 1/2 | -29 |
Luas = 1/2 * 29 = 14.5

Mari kita verifikasi dengan membagi poligon menjadi bagian-bagian:
Daerah di bawah Y=3 dan di antara X=0 dan X=3 adalah persegi panjang dengan luas 3 * 3 = 9. Titik D(0,3) dan C(3,3).

Pertimbangkan daerah antara X=-2 dan X=0, di bawah Y=3 dan di atas garis X+5y=-2 dan 3x-2y=-6.
Titik A(-2, 0), D(0, 3).
Area trapesium AD'D (D'=(0,0)) adalah 1/2 * (AD' + DD') * jarak D' ke D.
Ini tidak mudah.

Mari kita gunakan metode membagi menjadi trapesium:
1. Trapesium di bawah garis Y=3, dengan titik sudut (0,3) dan (3,3), dan proyeksinya ke sumbu x (0,0) dan (3,0). Luasnya adalah 3 * 3 = 9. Ini adalah bagian dari daerah.

Perhatikan bahwa garis X+5y=-2 melewati (-2,0) dan (3,-1). Garis 3x-2y=-6 melewati (-2,0) dan (0,3).

Daerah yang dibatasi oleh A(-2, 0), B(3, -1), C(3, 3), D(0, 3).
Kita bisa memproyeksikan titik B ke garis Y=3, yaitu titik B'=(3,3)=C. Proyeksikan A ke Y=3, yaitu A' = (-2,3).

Daerah ABCD dapat dihitung sebagai luas persegi panjang dengan titik sudut (-2,0), (3,0), (3,3), (-2,3) dikurangi atau ditambah area di bawah garis.

Mari kita pecah menjadi dua trapesium berdasarkan garis X=0:
1. Trapesium dengan titik (-2,0), (0,3), (0,0), (-2,0). Ini adalah segitiga siku-siku dengan alas 2 dan tinggi 3. Luas = 1/2 * 2 * 3 = 3. Namun, ini perlu diperiksa terhadap pertidaksamaan.

Mari kita gunakan pendekatan dengan memecah menjadi bentuk yang lebih sederhana yang berada di dalam daerah:

Kita memiliki titik sudut: A(-2, 0), B(3, -1), C(3, 3), D(0, 3).
Ini adalah sebuah kuadrilateral.

Kita bisa membaginya menjadi dua segitiga, misalnya ABC dan ADC.
Segitiga ABC: A(-2, 0), B(3, -1), C(3, 3).
Alas BC sejajar sumbu y, panjangnya 3 - (-1) = 4.
Jarak dari A ke garis X=3 adalah 3 - (-2) = 5.
Luas ABC = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * 4 * 5 = 10.

Segitiga ADC: A(-2, 0), D(0, 3), C(3, 3).
Alas DC sejajar sumbu x, panjangnya 3 - 0 = 3.
Jarak dari A ke garis Y=3 adalah 3 - 0 = 3.
Luas ADC = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * 3 * 3 = 4.5.

Total Luas = Luas ABC + Luas ADC = 10 + 4.5 = 14.5.

Ini konsisten dengan hasil Shoelace formula.

Jadi, luas daerah penyelesaian adalah 14.5 satuan luas.