Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva x^2-y-9=0,

54 satuan luas

Pembahasan

Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva \(x^2 - y - 9 = 0\), sumbu-x, garis \(x = 0\), dan garis \(x = 6\), kita perlu mengintegrasikan fungsi yang menyatakan batas atas kurva terhadap x dari batas bawah x=0 hingga batas atas x=6.

Pertama, ubah persamaan kurva menjadi bentuk \(y = f(x)\):
\(x^2 - y - 9 = 0\)
\(y = x^2 - 9\)

Selanjutnya, kita perlu menentukan di mana kurva ini memotong sumbu-x, yaitu saat \(y = 0\):
\(x^2 - 9 = 0\)
\(x^2 = 9\)
\(x = \pm 3\)

Perhatikan bahwa batas integrasi adalah dari \(x = 0\) sampai \(x = 6\). Dalam interval ini, kurva \(y = x^2 - 9\) berada di bawah sumbu-x untuk \(0 \leq x < 3\) dan di atas sumbu-x untuk \(3 < x \leq 6\).

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-x, kita perlu memecah integral menjadi dua bagian: dari 0 ke 3 dan dari 3 ke 6. Luas di bawah sumbu-x harus diambil nilai absolutnya.

Luas 1 (dari x=0 sampai x=3):
Karena \(y = x^2 - 9\) negatif di interval ini, luasnya adalah integral dari \(-(x^2 - 9))\).
\(L_1 = \int_{0}^{3} -(x^2 - 9) dx\)
    \(= \int_{0}^{3} (9 - x^2) dx\)
    \(= [9x - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{3}\)
    \(= (9(3) - \frac{1}{3}(3)^3) - (9(0) - \frac{1}{3}(0)^3)\)
    \(= (27 - \frac{1}{3}(27)) - (0)
    \(= 27 - 9\)
    \(= 18\)

Luas 2 (dari x=3 sampai x=6):
Karena \(y = x^2 - 9\) positif di interval ini, luasnya adalah integral dari \(x^2 - 9\).
\(L_2 = \int_{3}^{6} (x^2 - 9) dx\)
    \(= [\frac{1}{3}x^3 - 9x]_{3}^{6}\)
    \(= (\frac{1}{3}(6)^3 - 9(6)) - (\frac{1}{3}(3)^3 - 9(3))\)
    \(= (\frac{1}{3}(216) - 54) - (\frac{1}{3}(27) - 27)\)
    \(= (72 - 54) - (9 - 27)\)
    \(= 18 - (-18)\)
    \(= 18 + 18\)
    \(= 36\)

Luas total adalah jumlah dari kedua luas tersebut:
\(Luas_{total} = L_1 + L_2\)
               \(= 18 + 36\)
               \(= 54\)

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva \(x^2 - y - 9 = 0\), sumbu-x, garis \(x = 0\), dan garis \(x = 6\) adalah 54 satuan luas.