Tentukan nilai dari k, jika: persamaan 2x^3 + xx^2 + x + 1

k = -1

Pembahasan

Misalkan akar-akar dari persamaan 2x^3 + kx^2 + x + 1 = 0 adalah $\alpha$, $\beta$, dan $\gamma$. 
Kita diberitahu bahwa dua akar saling berkebalikan. Misalkan $\beta = 1/\alpha$.

Dari hubungan Vieta untuk persamaan kubik $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$:
1. Jumlah akar-akar: $\alpha + \beta + \gamma = -b/a$
2. Jumlah hasil kali akar-akar berpasangan: $\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = c/a$
3. Hasil kali akar-akar: $\alpha\beta\gamma = -d/a$

Dalam kasus ini, a=2, b=k, c=1, d=1.

Mari kita gunakan hubungan hasil kali akar-akar:
$\alpha\beta\gamma = -d/a$
$\alpha (1/\alpha) \gamma = -1/2$
$1 \times \gamma = -1/2$
$\gamma = -1/2$

Sekarang kita tahu salah satu akarnya adalah -1/2. Karena akar ini adalah bagian dari persamaan, maka jika kita substitusikan $x = -1/2$ ke dalam persamaan, persamaan tersebut harus bernilai 0.
$2x^3 + kx^2 + x + 1 = 0$
$2(-1/2)^3 + k(-1/2)^2 + (-1/2) + 1 = 0$
$2(-1/8) + k(1/4) - 1/2 + 1 = 0$
$-1/4 + k/4 + 1/2 = 0$
Kalikan seluruh persamaan dengan 4 untuk menghilangkan pecahan:
$-1 + k + 2 = 0$
$k + 1 = 0$
$k = -1$

Kita bisa memverifikasi ini menggunakan hubungan Vieta lainnya. Jika k = -1, maka persamaan menjadi 2x^3 - x^2 + x + 1 = 0.
Jumlah akar: $\alpha + 1/\alpha + (-1/2) = -(-1)/2 = 1/2$
$\alpha + 1/\alpha = 1/2 + 1/2 = 1$
Jumlah hasil kali berpasangan: $\alpha(1/\alpha) + \alpha(-1/2) + (1/\alpha)(-1/2) = 1/2$
$1 - \alpha/2 - 1/(2\alpha) = 1/2$
$1 - 1/2 = (\alpha/2) + 1/(2\alpha)$
$1/2 = (\alpha^2 + 1) / (2\alpha)$
$1/2 = (\alpha^2 + 1) / (2\alpha)$
$\alpha = \alpha^2 + 1$
$\alpha^2 - \alpha + 1 = 0$
Diskriminannya adalah $(-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$, yang berarti akar $\alpha$ adalah kompleks. Namun, soal tidak mensyaratkan akar real.

Jadi, nilai k yang memenuhi adalah -1.