Tentukan nilai dari lim x->0 (1+3x)^(2/x)

e^6

Pembahasan

Kita ingin mencari nilai dari lim x->0 (1+3x)^(2/x).
Ini adalah bentuk tak tentu 1^∞. Kita bisa menggunakan sifat logaritma atau aturan L'Hopital.

Metode 1: Menggunakan sifat limit
Misalkan y = (1+3x)^(2/x).
ln(y) = ln((1+3x)^(2/x))
ln(y) = (2/x) * ln(1+3x)
ln(y) = (2 * ln(1+3x)) / x

Sekarang kita cari limit dari ln(y) saat x -> 0:
lim x->0 (2 * ln(1+3x)) / x
Ini adalah bentuk tak tentu 0/0, jadi kita bisa gunakan aturan L'Hopital.

Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:
d/dx (2 * ln(1+3x)) = 2 * (1/(1+3x)) * 3 = 6 / (1+3x)
d/dx (x) = 1

lim x->0 (6 / (1+3x)) / 1 = 6 / (1 + 3*0) = 6 / 1 = 6

Jadi, ln(y) = 6.
Karena ln(y) = 6, maka y = e^6.

Metode 2: Menggunakan identitas lim x->0 (1+a/x)^x = e^a
Kita ubah bentuk (1+3x)^(2/x) menjadi bentuk yang sesuai.
(1+3x)^(2/x) = ((1 + 3x)^(x/3x))^(2/x * 3x/3x) --> ini rumit.

Mari kita gunakan bentuk lim x->0 (1+kx)^(m/x) = e^(km).
Dalam kasus ini, k=3, m=2.
Jadi, lim x->0 (1+3x)^(2/x) = e^(3*2) = e^6.

(Penuntun aturan L'Hopital atau sifat limit eksponensial e).
Nilai dari lim x->0 (1+3x)^(2/x) adalah e^6.