Nilai tan x yang memenuhi persamaan cos 2x-5cos x-2=0 untuk

√3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan cos 2x - 5cos x - 2 = 0 pada interval π ≤ x ≤ 3/2π, kita perlu menggunakan identitas cos 2x. Identitas yang paling sesuai di sini adalah cos 2x = 2cos^2 x - 1.
Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan:
(2cos^2 x - 1) - 5cos x - 2 = 0
2cos^2 x - 5cos x - 3 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk cos x. Mari kita faktorkan persamaan ini. Misalkan u = cos x:
2u^2 - 5u - 3 = 0
(2u + 1)(u - 3) = 0

Dari sini, kita mendapatkan dua kemungkinan nilai untuk u (atau cos x):
1. 2u + 1 = 0  =>  u = -1/2  => cos x = -1/2
2. u - 3 = 0  =>  u = 3  => cos x = 3

Nilai cos x tidak mungkin lebih dari 1 atau kurang dari -1. Oleh karena itu, cos x = 3 tidak memiliki solusi.

Kita fokus pada cos x = -1/2. Kita perlu mencari nilai x dalam interval π ≤ x ≤ 3/2π (kuadran III).
Dalam kuadran III, nilai cosinus adalah negatif. Sudut referensi untuk cos x = 1/2 adalah π/3.
Di kuadran III, sudutnya adalah π + sudut referensi.
x = π + π/3 = 4π/3.

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 4π/3.

Sekarang kita perlu mencari nilai tan x untuk x = 4π/3.
tan x = tan (4π/3)
Karena tan (π + θ) = tan θ,
maka tan (4π/3) = tan (π + π/3) = tan (π/3).
Nilai tan (π/3) adalah √3.

Jadi, nilai tan x yang memenuhi persamaan tersebut adalah √3.