Tentukan nilai dari limit berikut.lim x->3

4√10 / 3

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari fungsi yang diberikan, kita perlu menggunakan metode substitusi langsung terlebih dahulu. Jika substitusi menghasilkan bentuk tak tentu (seperti 0/0 atau ∞/∞), kita perlu menggunakan teknik lain seperti mengalikan dengan konjugat atau faktorisasi.

Dalam kasus ini, substitusi langsung x=3 ke dalam fungsi:
Pembilang: √(5*3 - 14) - √(3 - 2) = √(15 - 14) - √1 = √1 - √1 = 1 - 1 = 0
Penyebut: √(3^2 + 1) - √(3*3 + 1) = √(9 + 1) - √(9 + 1) = √10 - √10 = 0

Karena hasilnya adalah 0/0, kita gunakan metode mengalikan dengan konjugat.

Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat masing-masing:
Konjugat pembilang: (√(5x-14) + √(x-2))
Konjugat penyebut: (√(x^2+1) + √(3x+1))

Limit = lim x->3 [ (√(5x-14)-√(x-2)) * (√(5x-14)+√(x-2)) * (√(x^2+1)+√(3x+1)) ] / [ (√(x^2+1)-√(3x+1)) * (√(x^2+1)+√(3x+1)) * (√(5x-14)+√(x-2)) ]

Limit = lim x->3 [ (5x-14) - (x-2) ] * [ √(x^2+1) + √(3x+1) ] / [ (x^2+1) - (3x+1) ] * [ √(5x-14) + √(x-2) ]

Limit = lim x->3 [ 4x - 12 ] * [ √(x^2+1) + √(3x+1) ] / [ x^2 - 3x ] * [ √(5x-14) + √(x-2) ]

Limit = lim x->3 [ 4(x - 3) ] * [ √(x^2+1) + √(3x+1) ] / [ x(x - 3) ] * [ √(5x-14) + √(x-2) ]

Kita bisa membatalkan (x-3):

Limit = lim x->3 [ 4 ] * [ √(x^2+1) + √(3x+1) ] / [ x ] * [ √(5x-14) + √(x-2) ]

Sekarang substitusikan x=3:

Limit = [ 4 ] * [ √(3^2+1) + √(3*3+1) ] / [ 3 ] * [ √(5*3-14) + √(3-2) ]
Limit = [ 4 ] * [ √(10) + √(10) ] / [ 3 ] * [ √(1) + √(1) ]
Limit = [ 4 ] * [ 2√10 ] / [ 3 ] * [ 1 + 1 ]
Limit = [ 4 ] * [ 2√10 ] / [ 3 ] * [ 2 ]
Limit = 8√10 / 6
Limit = 4√10 / 3