Tentukan nilai dari limit berikut limit x->phi/4 (1 - sin

1/2

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit $\\lim_{x \to \pi/4} \frac{1 - \sin(2x)}{\cos^2(2x)}$, kita dapat menggunakan substitusi atau manipulasi aljabar. Jika kita substitusi langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
Mari kita gunakan identitas trigonometri $\\cos^2(2x) = 1 - \sin^2(2x) = (1 - \sin(2x))(1 + \sin(2x))$.
Sehingga, limitnya menjadi $\\lim_{x \to \pi/4} \frac{1 - \sin(2x)}{(1 - \sin(2x))(1 + \sin(2x))}$.
Kita bisa membatalkan faktor $(1 - \sin(2x))$, asalkan $1 - \sin(2x) \neq 0$. Ketika $x = \pi/4$, $2x = \pi/2$, dan $\\sin(\\pi/2) = 1$, sehingga $1 - \sin(2x) = 0$. Ini berarti kita perlu hati-hati. Namun, untuk nilai $x$ yang mendekati $\\pi/4$ tetapi tidak sama dengan $\\pi/4$, $1 - \sin(2x) \neq 0$.
Jadi, limitnya menjadi $\\lim_{x \to \pi/4} \frac{1}{1 + \sin(2x)}$.
Sekarang, kita substitusi $x = \pi/4$: $\\frac{1}{1 + \sin(2(\pi/4))} = \frac{1}{1 + \sin(\\pi/2)} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.