Tentukan nilai dari: limit x->0 (1-cos4x)/(1-cosx)=...

Nilai limitnya adalah 16.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 4x}{1-\cos x}$, kita dapat menggunakan beberapa metode, termasuk substitusi langsung, aturan L'Hopital, atau identitas trigonometri.

**Metode 1: Menggunakan Identitas Trigonometri**
Kita tahu identitas $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta)$. Oleh karena itu, $1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta)$.

Kita dapat menulis ulang $1 - \cos 4x$ dan $1 - \cos x$ menggunakan identitas ini.

Untuk $1 - \cos 4x$, kita bisa menganggap $4x = 2\theta$, sehingga $\theta = 2x$. Maka:
$1 - \cos 4x = 2\sin^2(2x)$

Untuk $1 - \cos x$, kita bisa menganggap $x = 2\theta$, sehingga $\theta = \frac{x}{2}$. Maka:
$1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})$

Substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(2x)}{2\sin^2(\frac{x}{2})} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(2x)}{\sin^2(\frac{x}{2})}$

Kita juga tahu bahwa untuk nilai x yang mendekati 0, $\sin(kx) \approx kx$. Dengan menggunakan ini:
$\lim_{x \to 0} \frac{(2x)^2}{(\frac{x}{2})^2} = \lim_{x \to 0} \frac{4x^2}{\frac{x^2}{4}} = \lim_{x \to 0} \frac{4x^2 	imes 4}{x^2} = \lim_{x \to 0} 16 = 16$

Atau, kita bisa menggunakan aturan $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$.
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{2x}{ \sin(\frac{x}{2})} \cdot \frac{2x}{ \sin(\frac{x}{2})} \cdot \frac{(\frac{x}{2})}{(\frac{x}{2})} \cdot \frac{(\frac{x}{2})}{(\frac{x}{2})}$
$= \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(2x)}{2x} \right)^2 \cdot \left( \frac{2x}{\sin(\frac{x}{2})} \right)^2 
$Kita manipulasi agar sesuai dengan $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(2x)}{\sin^2(\frac{x}{2})} = \lim_{x \to 0} \frac{(\frac{\sin(2x)}{2x})^2 \cdot (2x)^2}{(\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}})^2 \cdot (\frac{x}{2})^2}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{(1)^2 \cdot (2x)^2}{(1)^2 \cdot (\frac{x}{2})^2} = \lim_{x \to 0} \frac{4x^2}{\frac{x^2}{4}} = \lim_{x \to 0} 16 = 16$

**Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hopital**
Jika kita substitusi x=0 langsung, kita akan mendapatkan bentuk $\frac{1-\cos 0}{1-\cos 0} = \frac{1-1}{1-1} = \frac{0}{0}$, yang merupakan bentuk tak tentu. Oleh karena itu, kita bisa menggunakan Aturan L'Hopital.

Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:
Turunan dari $1 - \cos 4x$ adalah $- (-\sin 4x) 	imes 4 = 4 \sin 4x$.
Turunan dari $1 - \cos x$ adalah $- (-\sin x) 	imes 1 = \sin x$.

Maka limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 0} \frac{4 \sin 4x}{\sin x}$

Sekarang, substitusi x=0 lagi: $\frac{4 \sin 0}{\sin 0} = \frac{0}{0}$. Kita masih mendapatkan bentuk tak tentu, jadi kita terapkan Aturan L'Hopital lagi.

Turunan dari $4 \sin 4x$ adalah $4 (\cos 4x) 	imes 4 = 16 \cos 4x$.
Turunan dari $\sin x$ adalah $\cos x$.

Maka limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 0} \frac{16 \cos 4x}{\cos x}$

Sekarang, substitusi x=0:
$\frac{16 \cos (4 \times 0)}{\cos 0} = \frac{16 \cos 0}{\cos 0} = \frac{16 \times 1}{1} = 16$

Kedua metode menghasilkan nilai yang sama, yaitu 16.