Tentukan nilai dari: limit x menuju tak hingga

$\sqrt{2} - 1$

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5} - \sqrt{2x-3})$, kita amati bahwa ketika $x$ mendekati tak hingga, kedua suku di dalam akar juga mendekati tak hingga. Ini akan menghasilkan bentuk tak tentu $\infty - \infty$.

Untuk mengatasi bentuk tak tentu ini, kita kalikan dengan bentuk konjugatnya:
$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5} - \sqrt{2x-3}) \times \frac{\sqrt{x+5} + \sqrt{2x-3}}{\sqrt{x+5} + \sqrt{2x-3}}$

Kalikan bagian pembilang menggunakan rumus $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$\lim_{x \to \infty} \frac{(x+5) - (2x-3)}{\sqrt{x+5} + \sqrt{2x-3}}$

Sederhanakan pembilang:
$\lim_{x \to \infty} rac{x+5 - 2x + 3}{\sqrt{x+5} + \sqrt{2x-3}}$
$\lim_{x \to \infty} rac{-x + 8}{\sqrt{x+5} + 
\sqrt{2x-3}}$

Sekarang, bagi setiap suku di pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari $x$ di penyebut, yaitu $\sqrt{x}$ (atau $x$ di bawah akar):
$\lim_{x \to \infty} rac{\frac{-x}{x} + rac{8}{x}}{\sqrt{rac{x}{x}+rac{5}{x}} + 
\sqrt{rac{2x}{x}-rac{3}{x}}}$

Sederhanakan:
$\lim_{x \to \infty} rac{-1 + rac{8}{x}}{\sqrt{1+rac{5}{x}} + 
\sqrt{2-rac{3}{x}}}$

Ketika $x \to \infty$, suku-suku yang memiliki $x$ di penyebut akan mendekati 0:
$\frac{-1 + 0}{\sqrt{1+0} + 
\sqrt{2-0}}$
$\frac{-1}{\sqrt{1} + 
\sqrt{2}}$
$\frac{-1}{1 + 
\sqrt{2}}$

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan konjugatnya:
$\frac{-1}{1 + 
\sqrt{2}} 	imes rac{1 - 
\sqrt{2}}{1 - 
\sqrt{2}}$
$\frac{-(1 - 
\sqrt{2})}{1^2 - (
\sqrt{2})^2}$
$\frac{-1 + 
\sqrt{2}}{1 - 2}$
$\frac{-1 + 
\sqrt{2}}{-1}$
$\sqrt{2} - 1$

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\sqrt{2} - 1$.