Tentukan nilai dari limx->phi/4 (cos 2x/(sinx-cosx))

-akar(2)

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari limx->phi/4 (cos 2x/(sinx-cosx)), kita perlu menggunakan metode substitusi atau manipulasi aljabar jika terjadi bentuk tak tentu.

Langkah 1: Substitusikan x = pi/4 ke dalam ekspresi.
cos(2 * pi/4) = cos(pi/2) = 0
sin(pi/4) - cos(pi/4) = (akar(2)/2) - (akar(2)/2) = 0
Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau identitas trigonometri.

Langkah 2: Menggunakan identitas trigonometri.
Kita tahu bahwa cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = (cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x)).
Ekspresi menjadi: limx->phi/4 [ (cos^2(x) - sin^2(x)) / (sinx - cosx) ]
= limx->phi/4 [ -(sin^2(x) - cos^2(x)) / (sinx - cosx) ]
= limx->phi/4 [ -(sinx - cosx)(sinx + cosx) / (sinx - cosx) ]

Langkah 3: Batalkan faktor (sinx - cosx).
= limx->phi/4 [ -(sinx + cosx) ]

Langkah 4: Substitusikan kembali x = pi/4.
= -(sin(pi/4) + cos(pi/4))
= -(akar(2)/2 + akar(2)/2)
= -(2 * akar(2)/2)
= -akar(2)

Jadi, nilai dari limx->phi/4 (cos 2x/(sinx-cosx)) adalah -akar(2).