Tentukan nilai dari perkalian berikut :

Nilai perkalian adalah 1/n.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari perkalian $\prod_{j=2}^{n}(1-\frac{1}{j})$, kita akan menyederhanakan suku di dalam perkalian terlebih dahulu:
$1 - \frac{1}{j} = \frac{j}{j} - \frac{1}{j} = \frac{j-1}{j}$

Sekarang, kita substitusikan kembali ke dalam notasi perkalian:
$\prod_{j=2}^{n}(\frac{j-1}{j})$

Mari kita jabarkan perkalian ini untuk beberapa suku pertama:
Untuk j=2: $\frac{2-1}{2} = \frac{1}{2}$
Untuk j=3: $\frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}$
Untuk j=4: $\frac{4-1}{4} = \frac{3}{4}$
...
Untuk j=n: $\frac{n-1}{n}$

Jadi, perkaliannya menjadi:
$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \dots \times \frac{n-1}{n}$

Perhatikan bahwa banyak suku yang saling menghilangkan (telescoping product). Suku pembilang dari satu fraksi akan saling menghilangkan dengan suku penyebut dari fraksi sebelumnya.

$\frac{\cancel{1}}{\cancel{2}} \times \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \times \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \times \dots \times \frac{n-1}{n}$

Setelah pembatalan, yang tersisa hanyalah pembilang pertama (1) dan penyebut terakhir (n).

Maka, hasil perkaliannya adalah $\frac{1}{n}$.