Tentukan nilai Iimit x->pi/2 akar(4 cos 2x sin 3x)!

Nilai limitnya adalah 2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari fungsi yang diberikan, kita perlu mensubstitusikan nilai x mendekati π/2 ke dalam fungsi tersebut. Fungsi yang diberikan adalah $\lim_{x \to \pi/2} \sqrt{4 \cos(2x) \sin(3x)}$.

Langkah 1: Substitusikan x = π/2 ke dalam fungsi.
$4 \cos(2 \times \pi/2) = 4 \cos(\pi) = 4 \times (-1) = -4$
$\\sin(3 \times \pi/2) = \sin(3\pi/2) = -1$

Langkah 2: Kalikan hasil dari cos(2x) dan sin(3x).
$-4 	imes (-1) = 4$

Langkah 3: Ambil akar kuadrat dari hasil perkalian.
$\\sqrt{4} = 2$

Namun, perlu diperhatikan bahwa cos(2x) bernilai negatif ketika x mendekati π/2 dari kanan (misalnya x = 0.5π + ε) dan positif ketika x mendekati π/2 dari kiri (misalnya x = 0.5π - ε). Karena kita mengambil akar kuadrat, hasil di dalam akar harus non-negatif.

Jika kita perhatikan lebih teliti, saat x mendekati π/2, nilai 2x mendekati π. Nilai cos(2x) akan mendekati -1. Nilai 3x akan mendekati 3π/2. Nilai sin(3x) akan mendekati -1. Jadi, $4 \\cos(2x) 

Untuk memastikan bahwa nilai di dalam akar kuadrat tidak negatif, kita perlu mempertimbangkan domain dari fungsi tersebut. Dalam kasus ini, agar $\\sqrt{4 

Karena nilai cos(2x) bisa negatif di sekitar π/2, dan sin(3x) juga negatif di sekitar 3π/2, produknya $4 

Jika kita mengasumsikan bahwa limit ini ada dalam bilangan real, maka ekspresi di bawah akar haruslah non-negatif. Namun, dengan substitusi langsung, kita mendapatkan hasil di dalam akar adalah positif. Mari kita evaluasi nilai fungsi saat x mendekati π/2.

Misalkan x = π/2 + h, di mana h mendekati 0.
$2x = π + 2h 
3x = 3π/2 + 3h 
\\cos(2x) = \\cos(π + 2h) = -\\cos(2h) 

\\sin(3x) = \\sin(3π/2 + 3h) = -\\cos(3h) 

Jadi, $4 

Ketika h mendekati 0, $\\cos(2h)$ mendekati 1 dan $\\cos(3h)$ mendekati 1. Maka, ekspresi di dalam akar mendekati $4 	imes (-1) 	imes (-1) = 4$.

$\\lim_{h \to 0} 

Jadi, nilai limitnya adalah 2.