Tentukan nilai dari lim x->0 (1-cos2x)/(sinx).

0

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{\sin x} \), kita bisa menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hôpital jika diperlukan.

Identitas yang relevan adalah:
1. \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \)
2. \( \sin x \approx x \) untuk \( x \) mendekati 0.
3. \( 1 - \cos 2x = 2\sin^2 x \)

Menggunakan identitas \( 1 - \cos 2x = 2\sin^2 x \), kita substitusikan ke dalam limit:

\( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 x}{\sin x} \)

Kita bisa menyederhanakan \( \sin x \) dari pembilang dan penyebut (karena \( x \) mendekati 0, \( \sin x \neq 0 \)):

\( = \lim_{x \to 0} 2\sin x \)

Sekarang, substitusikan \( x = 0 \) ke dalam ekspresi yang tersisa:

\( = 2\sin 0 \)
\( = 2 \times 0 \)
\( = 0 \)

Alternatif lain adalah menggunakan aturan L'Hôpital karena ketika \( x \to 0 \), pembilang \( 1 - \cos 0 = 1 - 1 = 0 \) dan penyebut \( \sin 0 = 0 \), sehingga bentuknya adalah \( \frac{0}{0} \).

Turunan dari pembilang \( \frac{d}{dx}(1 - \cos 2x) = -(-\sin 2x) \times 2 = 2\sin 2x \).
Turunan dari penyebut \( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \).

Menerapkan aturan L'Hôpital:

\( \lim_{x \to 0} \frac{2\sin 2x}{\cos x} \)

Substitusikan \( x = 0 \):

\( \frac{2\sin(2 \times 0)}{\cos 0} = \frac{2\sin 0}{1} = \frac{2 \times 0}{1} = 0 \)

Kedua metode memberikan hasil yang sama.