Tentukan nilai k agar A - kI tidak memiliki invers, dengan

Nilai k adalah 5 atau -2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai k agar matriks A - kI tidak memiliki invers, kita perlu mencari nilai k yang membuat determinan dari matriks tersebut sama dengan nol.

Materi:
Aljabar Linear

Matriks A diberikan sebagai:
A = [[2, 4], [3, 1]]

Matriks identitas I adalah:
I = [[1, 0], [0, 1]]

Maka, kI adalah:
kI = [[k, 0], [0, k]]

Selanjutnya, kita hitung A - kI:
A - kI = [[2, 4], [3, 1]] - [[k, 0], [0, k]] = [[2-k, 4], [3, 1-k]]

Sebuah matriks tidak memiliki invers jika determinannya adalah nol. Determinan dari matriks 2x2 [[a, b], [c, d]] adalah ad - bc.

Untuk matriks A - kI, determinannya adalah:
det(A - kI) = (2-k)(1-k) - (4)(3)

Kita samakan determinan dengan nol untuk mencari nilai k:
(2-k)(1-k) - 12 = 0
2 - 2k - k + k^2 - 12 = 0
k^2 - 3k - 10 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
(k - 5)(k + 2) = 0

Jadi, nilai k yang membuat matriks A - kI tidak memiliki invers adalah k = 5 atau k = -2.

Jawaban Ringkas:
Nilai k agar A - kI tidak memiliki invers adalah 5 atau -2.