Tentukan nilai lim x->0 ((x(cos(4x)-1)/(sin^2(2x) tan x))

Nilai dari limit tersebut adalah -2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari \(\lim_{x \to 0} \frac{x(\cos(4x)-1)}{\sin^2(2x) \tan x}\), kita akan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan limit:

1.  Identitas \(\cos(2\theta) - 1 = -2\sin^2(\theta)\). Maka, \(\cos(4x) - 1 = -2\sin^2(2x)\).
2.  Identitas \(\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\). Maka, \(\sin^2(2x) = (2\sin(x)\cos(x))^2 = 4\sin^2(x)\cos^2(x)\).
3.  Identitas \(\tan x = \sin x / \cos x\).
4.  Limit dasar: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) dan \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1\).

Substitusikan identitas ke dalam ekspresi limit:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{x(-2\sin^2(2x))}{(2\sin(x)\cos(x))^2 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}} $$ 

$$ \lim_{x \to 0} \frac{-2x\sin^2(2x)}{4\sin^2(x)\cos^2(x) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}} $$ 

Sederhanakan:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{-2x\sin^2(2x)}{4\sin^3(x)\cos(x)} $$ 

Gunakan \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\) lagi:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{-2x(2\sin(x)\cos(x))^2}{4\sin^3(x)\cos(x)} $$ 

$$ \lim_{x \to 0} \frac{-2x(4\sin^2(x)\cos^2(x))}{4\sin^3(x)\cos(x)} $$ 

$$ \lim_{x \to 0} \frac{-8x\sin^2(x)\cos^2(x)}{4\sin^3(x)\cos(x)} $$ 

Sederhanakan lebih lanjut:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{-2x\cos(x)}{\sin(x)} $$ 

Pisahkan menjadi limit yang diketahui:

$$ -2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \cos x $$ 

Karena \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\), maka \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1\). Dan \(\lim_{x \to 0} \cos x = \cos(0) = 1\).

$$ -2 \cdot (1) \cdot (1) = -2 $$ 

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah -2.