Tentukan nilai limit berikut.lim x->1

√2/2

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{3-x}}{x-1}$, kita pertama-tama substitusikan $x=1$ ke dalam ekspresi tersebut untuk melihat apakah kita mendapatkan bentuk tak tentu.

Jika kita substitusikan $x=1$: $\frac{\sqrt{1+1} - \sqrt{3-1}}{1-1} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{0} = \frac{0}{0}$.

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita perlu menggunakan metode lain, seperti mengalikan dengan konjugat dari pembilang.

Konjugat dari $\sqrt{x+1} - \sqrt{3-x}$ adalah $\sqrt{x+1} + \sqrt{3-x}$.

Sekarang, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugatnya:

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{3-x}}{x-1} \times \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{3-x}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{3-x}}$

Sekarang, kita kalikan pembilangnya menggunakan rumus $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
Pembilang = $(\sqrt{x+1})^2 - (\sqrt{3-x})^2 = (x+1) - (3-x) = x+1 - 3+x = 2x - 2$

Sekarang, ekspresi limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 1} \frac{2x - 2}{(x-1)(\sqrt{x+1} + \sqrt{3-x})}$

Kita dapat memfaktorkan pembilang: $2x - 2 = 2(x-1)$.

$\lim_{x \to 1} \frac{2(x-1)}{(x-1)(\sqrt{x+1} + \sqrt{3-x})}$

Kita dapat membatalkan $(x-1)$ dari pembilang dan penyebut, karena $x \to 1$ berarti $x \neq 1$:

$\lim_{x \to 1} \frac{2}{\sqrt{x+1} + \sqrt{3-x}}$

Sekarang, kita substitusikan $x=1$ ke dalam ekspresi yang disederhanakan:

$\frac{2}{\sqrt{1+1} + \sqrt{3-1}} = \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}}$

Kita dapat menyederhanakan ini lebih lanjut:

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Untuk merasionalkan penyebut, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Jadi, nilai limitnya adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$.