Tentukan nilai limit berikut. limit x->tak hingga

Nilai limitnya adalah -3/2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari ((x+3)/(2x-1) - (2x+5)/x-7) ketika x mendekati tak hingga, kita perlu menyederhanakan ekspresi terlebih dahulu dengan menyamakan penyebutnya.

Ekspresi yang diberikan adalah:
lim (x→∞) [ (x+3)/(2x-1) - (2x+5)/(x-7) ]

Samakan penyebut:
Penyebut bersama adalah (2x-1)(x-7).

Ubah pecahan pertama:
(x+3)/(2x-1) = [(x+3)(x-7)] / [(2x-1)(x-7)]
= (x^2 - 7x + 3x - 21) / (2x^2 - 14x - x + 7)
= (x^2 - 4x - 21) / (2x^2 - 15x + 7)

Ubah pecahan kedua:
(2x+5)/(x-7) = [(2x+5)(2x-1)] / [(x-7)(2x-1)]
= (4x^2 - 2x + 10x - 5) / (2x^2 - 14x - x + 7)
= (4x^2 + 8x - 5) / (2x^2 - 15x + 7)

Sekarang kurangkan kedua pecahan:
[ (x^2 - 4x - 21) - (4x^2 + 8x - 5) ] / (2x^2 - 15x + 7)
= [ x^2 - 4x - 21 - 4x^2 - 8x + 5 ] / (2x^2 - 15x + 7)
= [ -3x^2 - 12x - 16 ] / (2x^2 - 15x + 7)

Sekarang kita hitung limitnya ketika x → ∞:
lim (x→∞) [ (-3x^2 - 12x - 16) / (2x^2 - 15x + 7) ]

Untuk limit tak hingga dari fungsi rasional, kita bagi pembilang dan penyebut dengan suku pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu x².

= lim (x→∞) [ (-3x²/x² - 12x/x² - 16/x²) / (2x²/x² - 15x/x² + 7/x²) ]
= lim (x→∞) [ (-3 - 12/x - 16/x²) / (2 - 15/x + 7/x²) ]

Ketika x mendekati tak hingga, suku-suku yang memiliki x di penyebut akan mendekati nol (12/x → 0, 16/x² → 0, 15/x → 0, 7/x² → 0).

= (-3 - 0 - 0) / (2 - 0 + 0)
= -3 / 2

Jadi, nilai limitnya adalah -3/2.