Vektor-vektor posisi A, B, dan C relatif terhadap titik O

a. A, B, C kolinear karena $\|\vec{AC}\| = \frac{5}{2} \|\vec{AB}\|$. b. Rasio AB:BC adalah 2:3.

Pembahasan

a. Untuk menunjukkan bahwa vektor posisi A, B, dan C kolinear, kita perlu membuktikan bahwa vektor AB sejajar dengan vektor AC (atau vektor lainnya yang dibentuk dari titik-titik tersebut). Dua vektor sejajar jika salah satunya merupakan kelipatan skalar dari yang lain.

Vektor posisi A, B, dan C relatif terhadap titik O adalah:
$\|\vec{OA}\| = 2a - b$
$\|\vec{OB}\| = 6a + b$
$\|\vec{OC}\| = 12a + 4b$

Sekarang kita hitung vektor AB dan AC:
Vektor AB = $\|\vec{OB}\| - \|\vec{OA}\| = (6a + b) - (2a - b) = 6a + b - 2a + b = 4a + 2b$
Vektor AC = $\|\vec{OC}\| - \|\vec{OA}\| = (12a + 4b) - (2a - b) = 12a + 4b - 2a + b = 10a + 5b$

Kita bisa melihat bahwa Vektor AC = $\frac{5}{2}(4a + 2b) = \frac{5}{2}$ Vektor AB.
Karena Vektor AC adalah kelipatan skalar dari Vektor AB, maka vektor A, B, dan C adalah kolinear.

b. Untuk menentukan rasio AB:BC, kita perlu menghitung vektor BC terlebih dahulu.
Vektor BC = $\|\vec{OC}\| - \|\vec{OB}\| = (12a + 4b) - (6a + b) = 12a + 4b - 6a - b = 6a + 3b$

Sekarang kita bandingkan panjang atau komponen vektor AB dan BC:
Vektor AB = $4a + 2b$
Vektor BC = $6a + 3b$

Kita bisa melihat bahwa Vektor BC = $\frac{3}{2}(4a + 2b) = \frac{3}{2}$ Vektor AB.
Ini berarti bahwa panjang vektor BC adalah 3/2 kali panjang vektor AB.

Karena A, B, dan C kolinear, kita dapat menuliskan hubungan antar vektor:
$\|\vec{OB}\| - \|\vec{OA}\| = k (\|+\vec{OC}\| - \|\vec{OB}\|)$ untuk suatu skalar k, atau sebaliknya.
Atau, kita bisa melihat hubungan antara vektor AB dan BC:
Vektor AB = $4a + 2b$
Vektor BC = $6a + 3b$

Kita bisa tuliskan $2 	imes$ Vektor AB = $8a + 4b$, dan $2 	imes$ Vektor BC = $12a + 6b$.

Perhatikan bahwa Vektor AB = $2(2a + b)$ dan Vektor BC = $3(2a + b)$.
Ini berarti bahwa vektor AB dan vektor BC memiliki arah yang sama (karena keduanya merupakan kelipatan dari vektor yang sama $2a+b$), dan rasio panjangnya adalah:
AB : BC = |Vektor AB| : |Vektor BC| = |$2(2a+b)$| : |$3(2a+b)$| = 2 : 3.

Jadi, rasio AB:BC adalah 2:3.