Tentukan nilai limit berikut menggunakan cara substitusi

Bentuk tak tentu 0/0, namun nilai limitnya adalah 1 setelah penyederhanaan.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 3x}\) menggunakan cara substitusi langsung, kita akan menggantikan \(x\) dengan 0 ke dalam fungsi tersebut.

Fungsi yang diberikan adalah \(f(x) = \frac{\tan 3x}{\sin 3x}\).

Substitusi langsung berarti kita evaluasi \(f(0)\).
\(f(0) = \frac{\tan (3 \times 0)}{\sin (3 \times 0)}\)
\(f(0) = \frac{\tan 0}{\sin 0}\)

Kita tahu bahwa nilai \(\tan 0 = 0\) dan \(\sin 0 = 0\).
Jadi, substitusi langsung menghasilkan bentuk \(\frac{0}{0}\), yang merupakan bentuk tak tentu.

Ketika substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\), kita perlu menggunakan metode lain untuk mengevaluasi limit, seperti penyederhanaan aljabar, menggunakan identitas trigonometri, atau menggunakan Aturan L'Hôpital.

Namun, jika pertanyaan secara spesifik meminta untuk menggunakan cara substitusi langsung, dan hasilnya adalah bentuk tak tentu, maka kita perlu menyatakan bahwa substitusi langsung tidak memberikan nilai limit yang pasti, tetapi mengarah pada bentuk tak tentu. Dalam konteks pengajaran, terkadang ini adalah poin yang ingin ditekankan sebelum mengajarkan metode lain.

Mari kita gunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan ekspresi terlebih dahulu, meskipun soal meminta substitusi langsung. Kita tahu bahwa \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\).

Maka, \(\frac{\tan 3x}{\sin 3x} = \frac{\frac{\sin 3x}{\cos 3x}}{\sin 3x}\)

\(= \frac{\sin 3x}{\cos 3x \times \sin 3x}\)

Kita bisa membatalkan \(\sin 3x\) (dengan asumsi \(\sin 3x \neq 0\), yang berlaku saat \(x \neq 0\)):

\(= \frac{1}{\cos 3x}\)

Sekarang, kita lakukan substitusi langsung pada bentuk yang disederhanakan:
\(\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos 3x} = \frac{1}{\cos (3 \times 0)}\)
\(= \frac{1}{\cos 0}\)

Karena \(\cos 0 = 1\), maka:
\(= \frac{1}{1} = 1\).

Jadi, nilai limitnya adalah 1. Namun, jika hanya mengandalkan substitusi langsung pada bentuk asli, hasilnya adalah bentuk tak tentu. Berdasarkan instruksi soal untuk menggunakan substitusi langsung, jawaban yang paling tepat adalah menunjukkan bahwa substitusi langsung menghasilkan 0/0, yang merupakan bentuk tak tentu, sebelum melakukan penyederhanaan lebih lanjut jika diperlukan untuk mendapatkan nilai limit.