Tentukan nilai limit dari fungsi berikut : lim _(x -> 0) (4

Nilai limitnya adalah 0.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari fungsi $\\lim_{x \to 0} \frac{4x - 4x \cos 3x}{\sin x \tan 2x}$, kita bisa menggunakan beberapa metode, termasuk substitusi, faktorisasi, atau menggunakan sifat-sifat limit trigonometri yang terkenal ($\\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ dan $\\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$).

Mari kita coba faktorisasi dan penggunaan sifat limit:

$\\lim_{x \to 0} \frac{4x(1 - \cos 3x)}{\sin x \tan 2x}$

Kita tahu bahwa $1 - \cos A = 2 \sin^2 (A/2)$. Jadi, $1 - \cos 3x = 2 \sin^2 (3x/2)$.

$\\lim_{x \to 0} \frac{4x(2 \sin^2 (3x/2))}{\sin x \tan 2x}$
$\\lim_{x \to 0} \frac{8x \sin^2 (3x/2)}{\sin x \tan 2x}$

Sekarang, kita manipulasi agar sesuai dengan bentuk $\\frac{\sin x}{x}$ dan $\\frac{\tan x}{x}$:

$\\lim_{x \to 0} \frac{8x}{1} \times \frac{\sin(3x/2)}{1} \times \frac{\sin(3x/2)}{1} \times \frac{1}{\sin x} \times \frac{1}{\tan 2x}$

Kita bagi dan kalikan dengan suku yang sesuai:

$\\lim_{x \to 0} \frac{8x}{1} \times \frac{\sin(3x/2)}{3x/2} \times (3x/2) \times \frac{\sin(3x/2)}{3x/2} \times (3x/2) \times \frac{x}{\sin x} \times \frac{1}{x} \times \frac{2x}{\tan 2x} \times \frac{1}{2x}$

Atur ulang suku-suku:

$\\lim_{x \to 0} 8x \times \left(\frac{\sin(3x/2)}{3x/2}\right)^2 \times \frac{3x/2}{1} \times \left(\frac{x}{\sin x}\right) \times \frac{1}{1} \times \left(\frac{2x}{\tan 2x}\right) \times \frac{1}{2x}$

Kita tahu bahwa $\\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{kx} = 1$, $\\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{kx} = 1$, dan $\\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$.

Substitusikan nilai limit:

$8x \times (1)^2 \times (3x/2) \times (1) \times \frac{1}{1} \times (1) \times \frac{1}{2x}$

$8x \times 1 \times (3x/2) \times 1 \times 1 \times 1 \times \frac{1}{2x}$

Sekarang, kita punya masalah karena masih ada 'x' di pembilang dan penyebut yang bisa membuat hasilnya tidak terdefinisi jika tidak disederhanakan dengan benar. Mari kita kembali ke langkah sebelumnya dan susun ulang secara berbeda.

$\\lim_{x \to 0} \frac{4x(1 - \cos 3x)}{\sin x \tan 2x}$

Gunakan L'Hopital's Rule karena jika kita substitusi x=0, kita akan mendapatkan $\\frac{0}{0}$.
Turunan pembilang: $d/dx (4x - 4x \cos 3x) = 4 - (4 \cos 3x + 4x (-3 \sin 3x)) = 4 - 4 \cos 3x + 12x \sin 3x$
Turunan penyebut: $d/dx (\sin x \tan 2x) = \cos x \tan 2x + \sin x (2 \sec^2 2x)$

Substitusi x=0 ke turunan:
Pembilang: $4 - 4 \cos(0) + 12(0) \sin(0) = 4 - 4(1) + 0 = 0$
Penyebut: $\cos(0) \tan(0) + \sin(0) (2 \sec^2(0)) = 1(0) + 0(2(1)^2) = 0$

Karena masih $\\frac{0}{0}$, kita terapkan L'Hopital's Rule lagi.
Turunan kedua pembilang: $d/dx (4 - 4 \cos 3x + 12x \sin 3x) = 12 \sin 3x - (-12 \sin 3x + 12 \sin 3x + 12x (3 \cos 3x)) = 12 \sin 3x + 12 \sin 3x + 36x \cos 3x = 24 \sin 3x + 36x \cos 3x$
Turunan kedua penyebut: $d/dx (\cos x \tan 2x + 2 \sin x \sec^2 2x)$
= $(-\sin x \tan 2x + \cos x (2 \sec^2 2x)) + (2 \cos x \sec^2 2x + 2 \sin x (2 \sec(2x) \sec(2x) \tan(2x) \times 2))$
= $-\sin x \tan 2x + 2 \cos x \sec^2 2x + 2 \cos x \sec^2 2x + 8 \sin x \sec^2 2x \tan 2x$
= $-\sin x \tan 2x + 4 \cos x \sec^2 2x + 8 \sin x \sec^2 2x \tan 2x$

Substitusi x=0:
Pembilang: $24 \sin(0) + 36(0) \cos(0) = 0 + 0 = 0$
Penyebut: $-\sin(0)\tan(0) + 4\cos(0)\sec^2(0) + 8\sin(0)\sec^2(0)\tan(0) = 0 + 4(1)(1)^2 + 0 = 4$

Jadi, nilai limitnya adalah $\\frac{0}{4} = 0$. 

Mari kita coba lagi dengan cara yang lebih elegan menggunakan sifat limit:
$\\lim_{x \to 0} \frac{4x(1 - \cos 3x)}{\sin x \tan 2x}$
$= \\lim_{x \to 0} \frac{4x (2 \sin^2 (3x/2))}{\sin x \tan 2x}$
$= \\lim_{x \to 0} \frac{8x \sin(3x/2) \sin(3x/2)}{\sin x \tan 2x}$
Kita bisa menulis ulang sebagai:
$= \\lim_{x \to 0} 8 \times \frac{x}{\sin x} \times \frac{\sin(3x/2)}{1} \times \frac{\sin(3x/2)}{1} \times \frac{1}{\tan 2x}$
Ini masih belum benar.

Coba lagi:
$\\lim_{x \to 0} \frac{4x(1 - \cos 3x)}{\sin x \tan 2x}$
$= \\lim_{x \to 0} \frac{4x}{\sin x} \times \frac{1 - \cos 3x}{\tan 2x}$
$= \\lim_{x \to 0} 4 \frac{x}{\sin x} \times \frac{1 - \cos 3x}{1} \times \frac{1}{\tan 2x}$
$= \\lim_{x \to 0} 4 \times 1 \times (1 - \cos 3x) \times \frac{1}{\tan 2x}$
$= \\lim_{x \to 0} 4 \frac{1 - \cos 3x}{\tan 2x}$
$= \\lim_{x \to 0} 4 \frac{2 \sin^2 (3x/2)}{(\sin 2x)/(\cos 2x)}$
$= \\lim_{x \to 0} 8 \frac{\sin^2 (3x/2) \cos 2x}{\sin 2x}$
$= \\lim_{x \to 0} 8 \frac{\sin(3x/2) \sin(3x/2) \cos 2x}{2 \sin x \cos x}$
$= \\lim_{x \to 0} 4 \frac{\sin(3x/2) \sin(3x/2) \cos 2x}{\sin x \cos x}$

Sekarang gunakan $\\frac{\sin(kx)}{kx} = 1$ dan $\\frac{kx}{\sin kx} = 1$
$= \\lim_{x \to 0} 4 \times \frac{\sin(3x/2)}{3x/2} \times (3x/2) \times \frac{\sin(3x/2)}{3x/2} \times (3x/2) \times \frac{1}{\sin x / x \times x} \times \cos 2x \times \frac{1}{\cos x}$
$= \\lim_{x \to 0} 4 \times 1 \times (3x/2) \times 1 \times (3x/2) \times \frac{1}{x} \times 1 \times 1$
$= \\lim_{x \to 0} 4 \times (3x/2) \times (3x/2) \times \frac{1}{x}$
$= \\lim_{x \to 0} 4 \times \frac{9x^2}{4} \times \frac{1}{x}$
$= \\lim_{x \to 0} 9x$
$= 0$

Jadi, nilai limitnya adalah 0.