tentukan nilai limit dari: lim _(x -> 0) (cos 8 x-1)/(1-cos

Nilai limitnya adalah -4.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos 8x - 1}{1 - \cos 4x}\), kita dapat menggunakan identitas trigonometri atau aturan L'Hôpital.

Menggunakan identitas trigonometri:
Kita tahu bahwa \(1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta)\).
Maka, \(1 - \cos 4x = 2\sin^2(2x)\).
Dan, \(\cos 8x - 1 = -(1 - \cos 8x) = -2\sin^2(4x)\).

Limit menjadi:
\(\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2(4x)}{2\sin^2(2x)}\) 
\(= \lim_{x \to 0} \frac{-\sin^2(4x)}{\sin^2(2x)}\)

Kita juga tahu bahwa \(\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1\).

Kita bisa menulis ulang ekspresi sebagai:
\(= \lim_{x \to 0} -\left(\frac{\sin 4x}{4x}\right)^2 \cdot \left(\frac{2x}{\sin 2x}\right)^2 \cdot \frac{(4x)^2}{(2x)^2}\)

Karena \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} = 1\) dan \(\lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin 2x} = 1\), maka:
\(= -(1)^2 \cdot (1)^2 \cdot \frac{16x^2}{4x^2}\)
\(= -1 \cdot 1 \cdot 4\)
\(= -4\)

Atau, menggunakan aturan L'Hôpital (karena jika disubstitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0):
Turunan dari pembilang (cos 8x - 1) adalah -8 sin 8x.
Turunan dari penyebut (1 - cos 4x) adalah 4 sin 4x.

Limit menjadi:
\(\lim_{x \to 0} \frac{-8 \sin 8x}{4 \sin 4x}\)

Substitusi x = 0 lagi, masih menghasilkan 0/0, jadi kita gunakan L'Hôpital lagi.
Turunan dari -8 sin 8x adalah -64 cos 8x.
Turunan dari 4 sin 4x adalah 16 cos 4x.

Limit menjadi:
\(\lim_{x \to 0} \frac{-64 \cos 8x}{16 \cos 4x}\)

Substitusi x = 0:
\(= \frac{-64 \cos(0)}{16 \cos(0)}\)
\(= \frac{-64 \cdot 1}{16 \cdot 1}\)
\(= \frac{-64}{16}\)
\(= -4\)