Tentukan nilai limit fungsi dibawah ini1 lim x->0

1/5

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit fungsi $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x^2)}{x^2 + \sin^2(3x)}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar dengan mengingat bahwa untuk x mendekati 0, $\sin(kx) \approx kx$.

Metode 1: Menggunakan Aproksimasi $\sin(kx) \approx kx$
Untuk x mendekati 0:
$\sin(2x^2) \approx 2x^2$
$\sin(3x) \approx 3x$, sehingga $\sin^2(3x) \approx (3x)^2 = 9x^2$

Maka, limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{x^2 + 9x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{10x^2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hopital (jika bentuknya 0/0)
Bentuk limit saat x=0 adalah $\frac{\sin(0)}{0 + \sin^2(0)} = \frac{0}{0}$, sehingga bisa menggunakan L'Hopital.
Turunan dari pembilang $(\sin(2x^2))$ adalah $\cos(2x^2) \cdot 4x = 4x\cos(2x^2)$.
Turunan dari penyebut $(x^2 + \sin^2(3x))$ adalah $2x + 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 2x + 6\sin(3x)\cos(3x)$.
Menggunakan identitas $2\sin A \cos A = \sin(2A)$, maka $6\sin(3x)\cos(3x) = 3 \cdot (2\sin(3x)\cos(3x)) = 3\sin(6x)$.
Jadi, turunan penyebut adalah $2x + 3\sin(6x)$.

Limit setelah turunan pertama:
$\lim_{x \to 0} \frac{4x\cos(2x^2)}{2x + 3\sin(6x)}$
Bentuknya masih 0/0, gunakan L'Hopital lagi.
Turunan pembilang: $4\cos(2x^2) + 4x(-\sin(2x^2) \cdot 4x) = 4\cos(2x^2) - 16x^2\sin(2x^2)$.
Turunan penyebut: $2 + 3\cos(6x) \cdot 6 = 2 + 18\cos(6x)$.

Limit setelah turunan kedua:
$\lim_{x \to 0} \frac{4\cos(2x^2) - 16x^2\sin(2x^2)}{2 + 18\cos(6x)}$
Substitusikan x=0:
$\frac{4\cos(0) - 16(0)^2\sin(0)}{2 + 18\cos(0)} = \frac{4(1) - 0}{2 + 18(1)} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$

Jawaban ringkas: Nilai limit adalah 1/5.