Persamaan garis singgung pada kurva y = (cos x+2)/(sin x)

Turunkan fungsi, substitusi x=pi/2 untuk gradien, cari nilai y, lalu gunakan rumus persamaan garis singgung.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva y = (cos x + 2) / (sin x) di titik berabsis π/2, kita perlu mencari gradien garis singgung terlebih dahulu, yaitu turunan pertama dari fungsi y terhadap x, kemudian mengevaluasinya di x = π/2. Setelah itu, kita akan menggunakan titik dan gradien tersebut untuk membentuk persamaan garis singgung.

Langkah 1: Cari turunan pertama dari y terhadap x (dy/dx).
Kita gunakan aturan pembagian (quotient rule): Jika y = u/v, maka dy/dx = (u'v - uv') / v^2.
Misalkan u = cos x + 2, maka u' = -sin x.
Misalkan v = sin x, maka v' = cos x.

dy/dx = ((-sin x)(sin x) - (cos x + 2)(cos x)) / (sin x)^2
dy/dx = (-sin^2 x - cos^2 x - 2 cos x) / sin^2 x
Ingat identitas trigonometri: sin^2 x + cos^2 x = 1.

dy/dx = -(sin^2 x + cos^2 x) - 2 cos x) / sin^2 x
dy/dx = (-1 - 2 cos x) / sin^2 x

Langkah 2: Evaluasi dy/dx di x = π/2 untuk mendapatkan gradien (m).
Saat x = π/2:
sin(π/2) = 1
cos(π/2) = 0

m = (-1 - 2 * 0) / (1)^2
m = (-1 - 0) / 1
m = -1

Langkah 3: Cari nilai y pada x = π/2.
y = (cos(π/2) + 2) / sin(π/2)
y = (0 + 2) / 1
y = 2

Jadi, titik pada kurva adalah (π/2, 2).

Langkah 4: Gunakan rumus persamaan garis singgung: y - y1 = m(x - x1).
Di sini, (x1, y1) = (π/2, 2) dan m = -1.

y - 2 = -1(x - π/2)
y - 2 = -x + π/2

Persamaan garis singgungnya adalah y = -x + π/2 + 2.