Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat mx^2 + (m - 5)x -

a. m=5, b. m=-20

Pembahasan

Agar persamaan kuadrat $mx^2 + (m - 5)x - 20 = 0$ mempunyai akar-akar yang saling berlawanan dan saling berbalikan, kita perlu menggunakan sifat-sifat akar persamaan kuadrat.

Misalkan akar-akarnya adalah $\alpha$ dan $\beta$. Dari persamaan kuadrat, kita punya:
Jumlah akar: $\alpha + \beta = -(m-5)/m = (5-m)/m$
Perkalian akar: $\alpha \beta = -20/m$

a. Akar-akar saling berlawanan:
Jika akar-akar saling berlawanan, maka $\alpha = -\beta$. 
Ini berarti jumlah akar adalah nol: $\alpha + \beta = 0$.
Jadi, $(5-m)/m = 0$, yang mengimplikasikan $5-m = 0$, sehingga $m=5$.
Namun, jika $m=5$, persamaan menjadi $5x^2 + (5-5)x - 20 = 0$, yaitu $5x^2 - 20 = 0$. Persamaan ini hanya memiliki satu akar yang tidak berlawanan dengan dirinya sendiri ($x^2=4$, $x=\pm 2$). Untuk akar berlawanan, kita perlu dua akar yang berbeda.
Selain itu, jika $m=5$, maka perkalian akar $\alpha \beta = -20/5 = -4$. Jika $\alpha = -\beta$, maka $\alpha(-\alpha) = -\alpha^2 = -4$, yang berarti $\alpha^2 = 4$ dan $\alpha = \pm 2$. Jadi, akar-akarnya adalah 2 dan -2, yang memang saling berlawanan. Maka, $m=5$ adalah kondisi untuk akar saling berlawanan.

b. Akar-akar saling berbalikan:
Jika akar-akar saling berbalikan, maka $\alpha = 1/\beta$. 
Ini berarti hasil kali akar adalah satu: $\alpha \beta = 1$.
Jadi, $-20/m = 1$, yang mengimplikasikan $m = -20$.
Mari kita periksa dengan $m=-20$. Persamaan menjadi $-20x^2 + (-20-5)x - 20 = 0$, yaitu $-20x^2 - 25x - 20 = 0$. Atau $4x^2 + 5x + 4 = 0$.
Jumlah akar: $-5/4$. Perkalian akar: $4/4 = 1$. Jika perkalian akar adalah 1, maka akar-akarnya memang saling berbalikan.
Namun, mari kita periksa diskriminannya: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(4)(4) = 25 - 64 = -39$. Karena diskriminan negatif, akar-akarnya adalah imajiner, tetapi mereka tetap saling berbalikan. 

Jadi:
a. Agar akar-akar saling berlawanan, nilai $m=5$.
b. Agar akar-akar saling berbalikan, nilai $m=-20$.