Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x)=2x^2-8x pada

Nilai minimum adalah -8. Nilai maksimum tidak ada dalam interval terbuka tersebut.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi kuadrat \(f(x)=2x^2-8x\) pada interval \(-1 < x < 4\), kita perlu memeriksa nilai fungsi di titik kritis (jika ada dalam interval) dan di ujung interval.

1.  **Cari Titik Kritis:**
Titik kritis terjadi ketika turunan pertama fungsi sama dengan nol.\
Turunan pertama dari \(f(x)\) adalah \(f'(x)\).
\(f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2-8x) = 4x - 8\).

Set \(f'(x) = 0\) untuk mencari titik kritis:
\(4x - 8 = 0\)
\(4x = 8\)
\(x = 2\).

Titik kritis \(x = 2\) berada dalam interval \(-1 < x < 4\). Jadi, kita perlu mengevaluasi \(f(2)\).

2.  **Cari Nilai Fungsi di Titik Kritis:**
\(f(2) = 2(2)^2 - 8(2) = 2(4) - 16 = 8 - 16 = -8\).

3.  **Cari Nilai Fungsi di Ujung Interval:**
Intervalnya adalah \(-1 < x < 4\). Karena intervalnya terbuka (tidak termasuk -1 dan 4), kita akan mencari nilai limit saat x mendekati ujung-ujung interval tersebut, atau jika intervalnya tertutup, kita akan mengevaluasi di titik tersebut. Namun, dalam konteks soal ini dan umumnya untuk mencari maksimum/minimum pada interval terbuka, kita perlu berhati-hati. Jika nilai maksimum/minimum terjadi *tepat* di ujung interval terbuka, maka nilai tersebut tidak tercapai dalam interval tersebut. Namun, jika kita diminta mencari nilai maksimum/minimum *pada* interval tersebut, kita akan mengevaluasi di titik-titik kritis dan titik-titik ujung (jika intervalnya tertutup).

Karena intervalnya adalah \(-1 < x < 4\) (terbuka), kita akan mengevaluasi pada nilai-nilai yang mendekati ujung interval. Namun, standar prosedur untuk interval tertutup \([-1, 4]\) adalah:

*   Evaluasi di \(x = -1\):
    \(f(-1) = 2(-1)^2 - 8(-1) = 2(1) + 8 = 2 + 8 = 10\).
*   Evaluasi di \(x = 4\):
    \(f(4) = 2(4)^2 - 8(4) = 2(16) - 32 = 32 - 32 = 0\).

Sekarang bandingkan nilai-nilai yang diperoleh: \(f(2) = -8\), \(f(-1) = 10\), dan \(f(4) = 0\).

Karena intervalnya terbuka \(-1 < x < 4\), nilai maksimum dan minimum mungkin tidak tercapai di ujung interval. Namun, kita mencari nilai ekstrem *yang bisa dicapai* di dalam interval.

Nilai-nilai yang kita dapatkan adalah -8, 10, dan 0.

*   Nilai terendah adalah -8, yang dicapai pada \(x = 2\), yang berada di dalam interval. Jadi, nilai minimum adalah -8.
*   Nilai tertinggi yang mendekati adalah 10 (saat x mendekati -1) dan 0 (saat x mendekati 4). Nilai 10 dicapai pada \(x=-1\) (titik ujung) dan nilai 0 dicapai pada \(x=4\) (titik ujung). Karena intervalnya terbuka, nilai 10 dan 0 tidak termasuk dalam interval. Namun, jika kita mempertimbangkan nilai-nilai yang *mendekati* ujung interval, nilai fungsi akan mendekati 10 dan 0. Nilai 0 dicapai *pada* x=4, tapi x=4 tidak termasuk dalam interval. Nilai 10 dicapai *pada* x=-1, tapi x=-1 tidak termasuk dalam interval.

Fungsi \(f(x)=2x^2-8x\) adalah parabola yang terbuka ke atas. Puncaknya berada di \(x = -b/(2a) = -(-8)/(2*2) = 8/4 = 2\), yang merupakan nilai minimumnya.

Pada interval \(-1 < x < 4\):
*   Nilai minimum absolut adalah \(f(2) = -8\).
*   Nilai maksimum absolut tidak tercapai dalam interval terbuka karena nilai tertinggi mendekati \(f(-1) = 10\) tetapi \(x=-1\) tidak termasuk. Demikian pula, \(f(4)=0\) tetapi \(x=4\) tidak termasuk.

Jika soal mengacu pada nilai yang dicapai *di dalam* interval, maka nilai minimumnya adalah -8. Nilai maksimum tidak ada karena ujung interval terbuka.

Namun, seringkali dalam konteks soal seperti ini, meskipun intervalnya terbuka, kita tetap membandingkan nilai-nilai di titik kritis dan batas interval.

Nilai fungsi di titik-titik yang relevan: \(f(2) = -8\), \(f(x \to -1^+) \to 10\), \(f(x \to 4^-) \to 0\).

Nilai minimum yang dicapai di dalam interval adalah -8.
Nilai maksimum tidak tercapai di dalam interval terbuka, tetapi nilai fungsi mendekati 10 di salah satu ujungnya.

Jika kita mengasumsikan soal menginginkan nilai ekstrem yang *bisa dicapai* di dalam atau di batas terbuka dari interval:
Nilai minimum: -8 (dicapai pada x=2)
Nilai maksimum: Tidak ada nilai maksimum yang dicapai di dalam interval (-1, 4) karena f(-1) = 10 dan f(4) = 0, dan kedua titik x ini tidak termasuk dalam interval.

Jika kita harus memilih nilai maksimum dan minimum dari nilai-nilai yang kita hitung (10, 0, -8), maka nilai minimumnya adalah -8 dan nilai maksimumnya adalah 10. Namun, perlu diingat bahwa nilai 10 dan 0 tidak benar-benar dicapai *dalam* interval \(-1 < x < 4\).

Asumsi yang paling umum adalah mencari nilai ekstrem yang dicapai dalam domain yang diberikan. Maka:
Nilai minimum: -8.
Nilai maksimum: Tidak ada (karena mendekati 10 tapi tidak sampai).

Namun, jika konteksnya adalah memilih dari nilai-nilai yang dihitung termasuk batasnya (meskipun terbuka), maka maksimumnya adalah 10 dan minimumnya adalah -8.

Berdasarkan konvensi standar untuk interval terbuka, nilai minimumnya adalah -8. Nilai maksimum tidak ada.

Jika pertanyaan mengimplikasikan nilai *pada atau mendekati* batas:
Nilai maksimum: 10 (mendekati x=-1)
Nilai minimum: -8 (pada x=2)

Mari kita ambil interpretasi yang paling umum: mencari nilai yang benar-benar dicapai dalam interval.

Nilai minimum: -8.
Nilai maksimum: Tidak ada.