Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal fungsi-fungsi

Maksimum lokal = 5 (di x=0), Minimum lokal = 11/4 (di x=±√(3/2))

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum dan minimum lokal fungsi f(x) = x^4 - 3x^2 + 5 menggunakan uji turunan kedua, kita perlu mencari turunan pertama dan kedua fungsi tersebut. Turunan pertama: f'(x) = 4x^3 - 6x. Untuk mencari titik kritis, atur f'(x) = 0 => 4x^3 - 6x = 0 => 2x(2x^2 - 3) = 0. Maka, x = 0 atau 2x^2 = 3 => x^2 = 3/2 => x = ±√(3/2). Titik kritisnya adalah x = 0, x = √(3/2), dan x = -√(3/2).
Sekarang, cari turunan kedua: f''(x) = 12x^2 - 6.
Uji turunan kedua:
- Untuk x = 0: f''(0) = 12(0)^2 - 6 = -6. Karena f''(0) < 0, maka pada x = 0 terdapat nilai maksimum lokal. f(0) = 0^4 - 3(0)^2 + 5 = 5. Jadi, maksimum lokal adalah 5.
- Untuk x = √(3/2): f''(√(3/2)) = 12(√(3/2))^2 - 6 = 12(3/2) - 6 = 18 - 6 = 12. Karena f''(√(3/2)) > 0, maka pada x = √(3/2) terdapat nilai minimum lokal. f(√(3/2)) = (√(3/2))^4 - 3(√(3/2))^2 + 5 = (9/4) - 3(3/2) + 5 = 9/4 - 9/2 + 5 = 9/4 - 18/4 + 20/4 = 11/4. Jadi, minimum lokal adalah 11/4.
- Untuk x = -√(3/2): f''(-√(3/2)) = 12(-√(3/2))^2 - 6 = 12(3/2) - 6 = 18 - 6 = 12. Karena f''(-√(3/2)) > 0, maka pada x = -√(3/2) terdapat nilai minimum lokal. f(-√(3/2)) = (-√(3/2))^4 - 3(-√(3/2))^2 + 5 = (9/4) - 3(3/2) + 5 = 9/4 - 9/2 + 5 = 9/4 - 18/4 + 20/4 = 11/4. Jadi, minimum lokal adalah 11/4.