Tentukan nilai maksimum dari y = 1/sin x, pi/6<x< pi/2

Nilai maksimum dari y = 1/sin x pada interval π/6 < x < π/2 tidak tercapai, namun supremumnya adalah 2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dari fungsi y = 1/sin x pada interval π/6 < x < π/2, kita perlu menganalisis perilaku fungsi sinus pada interval tersebut dan bagaimana hal itu mempengaruhi nilai y.

1.  **Analisis Fungsi Sinus:** Pada interval π/6 < x < π/2, nilai sin x adalah positif.
    *   Ketika x mendekati π/6 dari kanan, sin x mendekati sin(π/6) = 1/2.
    *   Ketika x mendekati π/2 dari kiri, sin x mendekati sin(π/2) = 1.
    *   Jadi, pada interval π/6 < x < π/2, nilai sin x berada dalam rentang (1/2, 1).

2.  **Analisis Fungsi y = 1/sin x:** Karena y = 1/sin x, nilai y akan berbanding terbalik dengan nilai sin x.
    *   Ketika sin x mendekati nilai minimumnya pada interval ini (yaitu, mendekati 1/2), nilai y = 1/sin x akan mendekati nilai maksimumnya (yaitu, mendekati 1 / (1/2) = 2).
    *   Ketika sin x mendekati nilai maksimumnya pada interval ini (yaitu, mendekati 1), nilai y = 1/sin x akan mendekati nilai minimumnya (yaitu, mendekati 1/1 = 1).

3.  **Menentukan Nilai Maksimum:** Karena intervalnya adalah terbuka (tidak termasuk π/6 dan π/2), fungsi tidak mencapai nilai maksimum atau minimum absolut pada titik-titik ujung tersebut. Namun, kita dapat menentukan supremum (batas atas terkecil) dan infimum (batas bawah terbesar).
    *   Nilai y mendekati 2 ketika x mendekati π/6.
    *   Nilai y mendekati 1 ketika x mendekati π/2.

Karena x tidak sama dengan π/6, maka sin x tidak sama dengan 1/2, sehingga y tidak akan pernah sama dengan 2. Nilai y akan selalu lebih kecil dari 2 tetapi bisa sedekat mungkin dengan 2. Oleh karena itu, tidak ada nilai maksimum yang dicapai dalam interval terbuka ini, tetapi supremumnya adalah 2.