Tentukan nilai minimum dan nilai maksimum yang mungkin

Nilai minimum adalah -2 pada titik (2,0), dan nilai maksimum adalah 10 pada titik (8,6).

Pembahasan

Untuk menentukan nilai minimum dan maksimum dari masalah program linear T = -X + 3y dengan syarat 2x - y >= 4, -x + 2y <= 4, y <= 6, x >= 0, dan y >= 0, kita perlu mencari titik-titik sudut dari daerah yang memenuhi semua ketidaksetaraan tersebut. Titik-titik ini diperoleh dari perpotongan garis-garis batas dari ketidaksetaraan.

1. Cari titik potong dari garis-garis batas:
   - 2x - y = 4
   - -x + 2y = 4
   - y = 6
   - x = 0
   - y = 0

2. Titik-titik potong yang relevan adalah:
   - Perpotongan 2x - y = 4 dan -x + 2y = 4: Kalikan persamaan kedua dengan 2, menjadi -2x + 4y = 8. Jumlahkan dengan persamaan pertama: (2x - y) + (-2x + 4y) = 4 + 8 => 3y = 12 => y = 4. Substitusikan y=4 ke 2x - y = 4 => 2x - 4 = 4 => 2x = 8 => x = 4. Titik potongnya adalah (4, 4).
   - Perpotongan 2x - y = 4 dan y = 6: Substitusikan y=6 ke 2x - y = 4 => 2x - 6 = 4 => 2x = 10 => x = 5. Titik potongnya adalah (5, 6).
   - Perpotongan -x + 2y = 4 dan y = 6: Substitusikan y=6 ke -x + 2y = 4 => -x + 2(6) = 4 => -x + 12 = 4 => -x = -8 => x = 8. Titik potongnya adalah (8, 6).
   - Perpotongan 2x - y = 4 dan x = 0: Substitusikan x=0 ke 2x - y = 4 => 2(0) - y = 4 => -y = 4 => y = -4. Titik potongnya adalah (0, -4). Namun, karena y >= 0, titik ini tidak valid.
   - Perpotongan -x + 2y = 4 dan x = 0: Substitusikan x=0 ke -x + 2y = 4 => -(0) + 2y = 4 => 2y = 4 => y = 2. Titik potongnya adalah (0, 2).
   - Perpotongan y = 6 dan x = 0: Titik potongnya adalah (0, 6).
   - Perpotongan 2x - y = 4 dan y = 0: Substitusikan y=0 ke 2x - y = 4 => 2x - 0 = 4 => 2x = 4 => x = 2. Titik potongnya adalah (2, 0).
   - Perpotongan -x + 2y = 4 dan y = 0: Substitusikan y=0 ke -x + 2y = 4 => -x + 2(0) = 4 => -x = 4 => x = -4. Titik potongnya adalah (-4, 0). Namun, karena x >= 0, titik ini tidak valid.

3. Periksa titik-titik sudut yang memenuhi semua syarat:
   - Titik (4, 4): 2(4) - 4 = 4 (memenuhi); -4 + 2(4) = 4 (memenuhi); 4 <= 6 (memenuhi); 4 >= 0 (memenuhi); 4 >= 0 (memenuhi). Titik (4, 4) valid.
   - Titik (5, 6): 2(5) - 6 = 4 (memenuhi); -5 + 2(6) = 7 (tidak memenuhi -x + 2y <= 4). Titik (5, 6) tidak valid.
   - Titik (8, 6): 2(8) - 6 = 10 (tidak memenuhi 2x - y >= 4). Titik (8, 6) tidak valid.
   - Titik (0, 2): 2(0) - 2 = -2 (tidak memenuhi 2x - y >= 4). Titik (0, 2) tidak valid.
   - Titik (0, 6): 2(0) - 6 = -6 (tidak memenuhi 2x - y >= 4). Titik (0, 6) tidak valid.
   - Titik (2, 0): 2(2) - 0 = 4 (memenuhi); -(2) + 2(0) = -2 (tidak memenuhi -x + 2y <= 4). Titik (2, 0) tidak valid.

Perlu dicari lagi titik potong antara garis 2x - y = 4 dan y = 6, serta -x + 2y = 4 dan y = 6, dan juga perpotongan garis 2x - y = 4 dengan sumbu x, dan -x + 2y = 4 dengan sumbu x, kemudian periksa apakah titik-titik tersebut memenuhi semua batasan.

Mari kita ulang mencari titik-titik sudut yang valid:
1. 2x - y = 4 dan -x + 2y = 4 -> (4, 4)
2. 2x - y = 4 dan y = 6 -> (5, 6). Cek: -5 + 2(6) = 7. 7 <= 4 salah.
3. -x + 2y = 4 dan y = 6 -> (8, 6). Cek: 2(8) - 6 = 10. 10 >= 4 benar. Tapi 8 >= 0 benar. Namun, perlu dicek lagi semua batasan.
   - 2x - y >= 4 => 2(8) - 6 = 10 >= 4 (Benar)
   - -x + 2y <= 4 => -8 + 2(6) = -8 + 12 = 4 <= 4 (Benar)
   - y <= 6 => 6 <= 6 (Benar)
   - x >= 0 => 8 >= 0 (Benar)
   - y >= 0 => 6 >= 0 (Benar)
   Jadi, (8, 6) adalah titik sudut yang valid.
4. 2x - y = 4 dan x = 0 -> (0, -4). Tidak valid karena y >= 0.
5. -x + 2y = 4 dan x = 0 -> (0, 2). Cek: 2(0) - 2 = -2. -2 >= 4 salah.
6. 2x - y = 4 dan y = 0 -> (2, 0). Cek: -(2) + 2(0) = -2. -2 <= 4 benar. Tapi -2 >= 4 salah.
7. -x + 2y = 4 dan y = 0 -> (-4, 0). Tidak valid karena x >= 0.
8. Perpotongan -x + 2y = 4 dengan sumbu y (x=0) adalah (0, 2). Cek batasan: 2(0) - 2 = -2. -2 >= 4 salah.
9. Perpotongan 2x - y = 4 dengan sumbu x (y=0) adalah (2, 0). Cek batasan: -2 + 2(0) = -2. -2 <= 4 benar. Namun, batasan 2x - y >= 4 adalah 2(2) - 0 = 4 >= 4 benar. Titik (2,0) tidak valid karena -x+2y <= 4 tidak terpenuhi.

Titik-titik sudut yang valid adalah titik potong antara garis-garis batas yang memenuhi semua ketidaksetaraan. Mari kita periksa lagi:

Titik potong:
- 2x - y = 4 dan -x + 2y = 4  => (4, 4). Cek: 4<=6 (benar), 4>=0 (benar), 4>=0 (benar). Valid.
- 2x - y = 4 dan y = 6 => (5, 6). Cek: -5 + 2(6) = 7. 7 <= 4 (salah). Tidak valid.
- -x + 2y = 4 dan y = 6 => (8, 6). Cek: 2(8) - 6 = 10. 10 >= 4 (benar). Valid.
- -x + 2y = 4 dan x = 0 => (0, 2). Cek: 2(0) - 2 = -2. -2 >= 4 (salah). Tidak valid.
- 2x - y = 4 dan x = 0 => (0, -4). Tidak valid karena y>=0.
- Perpotongan sumbu x dan y yang memenuhi: Karena x >= 0 dan y >= 0. Perlu dicari titik potong dengan sumbu x dan y yang memenuhi.

Mari kita pertimbangkan lagi.

Garis 1: 2x - y = 4. Memotong sumbu x di (2,0), sumbu y di (0,-4).
Garis 2: -x + 2y = 4. Memotong sumbu x di (-4,0), sumbu y di (0,2).
Garis 3: y = 6. Garis horizontal.
Garis 4: x = 0. Sumbu y.
Garis 5: y = 0. Sumbu x.

Kita perlu daerah di mana:
2x - y >= 4 (di bawah atau pada garis 2x-y=4 jika dilihat dari titik (0,0), tapi karena 0-0=0 tidak lebih besar dari 4, maka daerahnya di sisi berlawanan dari (0,0))
-x + 2y <= 4 (di bawah atau pada garis -x+2y=4 jika dilihat dari titik (0,0), karena 0-0=0 lebih kecil dari 4, maka daerahnya di sisi yang sama dengan (0,0))
y <= 6 (di bawah atau pada garis y=6)
x >= 0 (kanan atau pada sumbu y)
y >= 0 (atas atau pada sumbu x)

Titik-titik sudut yang memenuhi adalah perpotongan garis-garis batas yang berada dalam daerah yang diarsir:
1. Perpotongan 2x - y = 4 dan -x + 2y = 4 adalah (4, 4). Memenuhi semua syarat.
2. Perpotongan 2x - y = 4 dan y = 6 adalah (5, 6). Cek -x + 2y <= 4: -5 + 2(6) = 7. 7 <= 4 (salah).
3. Perpotongan -x + 2y = 4 dan y = 6 adalah (8, 6). Cek 2x - y >= 4: 2(8) - 6 = 10. 10 >= 4 (benar). Valid.
4. Perpotongan -x + 2y = 4 dan x = 0 adalah (0, 2). Cek 2x - y >= 4: 2(0) - 2 = -2. -2 >= 4 (salah).
5. Perpotongan 2x - y = 4 dan x = 0 adalah (0, -4). Tidak valid karena y>=0.
6. Perpotongan 2x - y = 4 dan y = 0 adalah (2, 0). Cek -x + 2y <= 4: -2 + 0 = -2. -2 <= 4 (benar). Cek 2x - y >= 4: 2(2) - 0 = 4. 4 >= 4 (benar). Cek y <= 6: 0 <= 6 (benar). Valid.

Jadi, titik-titik sudut yang memenuhi adalah (4, 4), (8, 6), dan (2, 0).

Sekarang kita substitusikan titik-titik sudut ke dalam fungsi tujuan T = -X + 3y:
- Untuk (4, 4): T = -(4) + 3(4) = -4 + 12 = 8
- Untuk (8, 6): T = -(8) + 3(6) = -8 + 18 = 10
- Untuk (2, 0): T = -(2) + 3(0) = -2 + 0 = -2

Nilai minimum yang mungkin terjadi adalah -2.
Nilai maksimum yang mungkin terjadi adalah 10.