Tentukan nilai p dari kesamaan limit x->3 (5x+p)/(2x+1)=2

Terdapat inkonsistensi dalam soal, karena nilai p yang memenuhi kondisi pertama adalah -1, sedangkan nilai p yang memenuhi kondisi kedua adalah -2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menyelesaikan dua persamaan limit secara terpisah untuk menemukan nilai p.

Persamaan 1: limit x→3 (5x + p) / (2x + 1) = 2
Substitusikan x = 3 ke dalam persamaan:
(5(3) + p) / (2(3) + 1) = 2
(15 + p) / (6 + 1) = 2
(15 + p) / 7 = 2
15 + p = 2 * 7
15 + p = 14
p = 14 - 15
p = -1

Persamaan 2: limit x→p (2x + 3) / (1 + x) = 1
Substitusikan nilai p = -1 yang kita temukan dari persamaan pertama:
limit x→-1 (2x + 3) / (1 + x) = 1
Sekarang, substitusikan x = -1 ke dalam persamaan:
(2(-1) + 3) / (1 + (-1)) = 1
(-2 + 3) / (1 - 1) = 1
1 / 0 = 1

Karena kita mendapatkan pembagian dengan nol (1/0), ini menunjukkan bahwa ada masalah dengan asumsi atau soalnya. Namun, jika kita menginterpretasikan bahwa limit tersebut ada dan sama dengan 1, kita perlu memeriksa kembali.

Mari kita asumsikan ada kesalahan pengetikan dan limit kedua seharusnya tidak menghasilkan bentuk tak tentu.
Jika kita menggunakan p = -1, maka penyebut menjadi 1 + (-1) = 0. Agar limitnya ada, pembilang juga harus nol ketika x = -1.
Namun, pembilang adalah 2x + 3. Ketika x = -1, pembilangnya adalah 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1, yang bukan nol.

Kemungkinan lain adalah kita harus mencari nilai p sedemikian rupa sehingga limit kedua bernilai 1, tanpa harus menggunakan p dari limit pertama. Mari kita coba itu:

limit x→p (2x + 3) / (1 + x) = 1
Kita asumsikan bahwa substitusi langsung x = p menghasilkan bentuk yang terdefinisi:
(2p + 3) / (1 + p) = 1
2p + 3 = 1 + p
2p - p = 1 - 3
p = -2

Sekarang kita punya dua nilai p yang berbeda: p = -1 dari limit pertama dan p = -2 dari limit kedua. Soal meminta nilai p dari "kesamaan limit", yang menyiratkan bahwa nilai p harus sama untuk kedua kondisi.

Mari kita tinjau kembali asumsi bahwa limit kedua menghasilkan 1 ketika x mendekati p.
Jika p = -2, maka:
limit x→-2 (2x + 3) / (1 + x) = (2(-2) + 3) / (1 + (-2)) = (-4 + 3) / (1 - 2) = -1 / -1 = 1.
Ini konsisten.

Namun, nilai p yang ditemukan dari limit pertama adalah -1. Jika kita harus menggunakan nilai p yang sama untuk kedua limit, maka tidak ada solusi yang memenuhi kedua kondisi tersebut secara bersamaan.

Jika soalnya adalah "Tentukan nilai p dari limit x->3 (5x+p)/(2x+1)=2 DAN tentukan nilai p dari limit x->p (2x+3)/(1+x)=1", maka kita mendapatkan p = -1 dan p = -2.

Jika interpretasinya adalah mencari nilai p yang memenuhi KEDUA kondisi tersebut, maka tidak ada solusi.

Namun, jika ada kemungkinan bahwa soal ini mencari nilai p yang memenuhi salah satu kondisi dan kemudian menggunakannya di kondisi lain, atau ada kesalahan pengetikan, kita perlu klarifikasi.

Asumsikan bahwa soal ini bermaksud mencari nilai p yang memenuhi limit pertama, dan kemudian verifikasi apakah nilai p tersebut juga memenuhi limit kedua jika digunakan sebagai batasnya.
Dari limit pertama, kita mendapatkan p = -1.
Dari limit kedua, kita mendapatkan p = -2 agar limitnya bernilai 1.

Karena kedua nilai p berbeda, mari kita pertimbangkan kemungkinan lain. Mungkin 'kesamaan limit' berarti bahwa nilai limitnya sama, bukan nilai p nya.
Namun, itu tidak sesuai dengan cara soalnya ditulis.

Jika kita harus memilih satu nilai p, dan ada kemungkinan kesalahan dalam soal, kita periksa kembali perhitungan.

Limit 1: p = -1
Limit 2: p = -2

Karena soal menanyakan "nilai p dari kesamaan limit x->3 (5x+p)/(2x+1)=2 DAN limit x->p (2x+3)/(1+x)=1", ini menyiratkan bahwa nilai p yang sama harus memenuhi kedua persamaan. Karena kita mendapatkan p = -1 dari persamaan pertama dan p = -2 dari persamaan kedua, tidak ada nilai p tunggal yang memenuhi kedua kondisi tersebut. 

Namun, jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan salah satu kondisi, atau jika ada kesalahan dalam soal, biasanya kita akan melaporkan nilai yang ditemukan dari setiap kondisi.

Jika kita harus memilih salah satu, dan menganggap bahwa ada kesalahan ketik di salah satu limit, atau cara soal ini dirumuskan, mari kita coba fokus pada bagaimana nilai 'p' muncul.
Di limit pertama, 'p' adalah bagian dari ekspresi.
Di limit kedua, 'p' adalah batas limit.

Mari kita asumsikan bahwa soal ini menguji pemahaman tentang bagaimana menemukan nilai p dari kedua skenario tersebut.

Nilai p dari limit pertama adalah -1.
Nilai p dari limit kedua (agar limitnya 1) adalah -2.

Karena tidak ada nilai p yang sama untuk kedua kondisi, kita harus menyatakan bahwa tidak ada solusi tunggal atau ada inkonsistensi dalam soal. Namun, jika kita dipaksa untuk memberikan nilai p yang ditemukan dari setiap persamaan:

Nilai p dari limit pertama adalah -1.
Nilai p dari limit kedua adalah -2.

Jika interpretasinya adalah bahwa p harus sama, maka tidak ada solusi.
Jika interpretasinya adalah mencari nilai p dari setiap kondisi:
p_1 = -1 dan p_2 = -2.

Mengingat format soal pilihan ganda biasanya mengharapkan satu jawaban, dan ada kemungkinan kesalahan pengetikan, mari kita cek apakah ada nilai p yang membuat kedua persamaan menjadi masuk akal.
Jika p = -1 dari limit 1, maka limit 2 menjadi 1/0.
Jika p = -2 dari limit 2, maka limit 1 menjadi (5(-2) + p) / (2(-2) + 1) = (-10 + p) / (-3). Agar ini sama dengan 2, maka -10 + p = -6, sehingga p = 4. Ini juga tidak konsisten.

Mengikuti perhitungan yang paling langsung:
p dari limit pertama adalah -1. p dari limit kedua adalah -2.
Karena tidak ada nilai p yang sama, kita laporkan keduanya atau nyatakan tidak ada solusi tunggal.