Tentukan nilai sec b dan sin b jika diketahui cot b=-akar

$\sec b = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ dan $\sin b = -\frac{1}{2}$

Pembahasan

Diketahui $\cot b = - \sqrt{3}$. Karena $\cot b$ bernilai negatif, maka sudut $b$ berada di kuadran II atau IV. Berdasarkan informasi bahwa $b$ adalah sudut di kuadran IV, maka kita dapat menentukan nilai $\sin b$ dan $\sec b$. 

Untuk menentukan $\sin b$ dan $\sec b$, kita bisa menggunakan identitas trigonometri atau membuat segitiga siku-siku.

Cara 1: Menggunakan identitas trigonometri
Kita tahu bahwa $\cot b = \frac{1}{\tan b}$. Jadi, $\tan b = \frac{1}{-\sqrt{3}}$.
Kita juga tahu bahwa $\sec^2 b = 1 + \tan^2 b$.
Maka, $\sec^2 b = 1 + (\frac{1}{-\sqrt{3}})^2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
Karena $b$ berada di kuadran IV, $\cos b$ bernilai positif, sehingga $\sec b = \frac{1}{\cos b}$ juga bernilai positif.
Jadi, $\sec b = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Selanjutnya, kita tahu bahwa $\sin^2 b = 1 - \cos^2 b = 1 - \frac{1}{\sec^2 b}$.
$\sin^2 b = 1 - \frac{1}{4/3} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
Karena $b$ berada di kuadran IV, $\sin b$ bernilai negatif.
Jadi, $\sin b = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}$.

Cara 2: Menggunakan segitiga siku-siku
Diketahui $\cot b = \frac{sisi\ samping}{sisi\ depan} = -\sqrt{3}$.
Karena $b$ di kuadran IV, sisi samping (x) positif, sisi depan (y) negatif, dan sisi miring (r) selalu positif.
Kita bisa memisalkan sisi samping = $\sqrt{3}$ dan sisi depan = $-1$ (karena kuadran IV, y negatif). 
Untuk mencari sisi miring (r), gunakan teorema Pythagoras: $r^2 = (sisi\ samping)^2 + (sisi\ depan)^2 = (\sqrt{3})^2 + (-1)^2 = 3 + 1 = 4$.
Maka, $r = \sqrt{4} = 2$.

Sekarang kita bisa tentukan $\sin b$ dan $\sec b$:
$\sin b = \frac{sisi\ depan}{sisi\ miring} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$.
$\cos b = \frac{sisi\ samping}{sisi\ miring} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sec b = \frac{1}{\cos b} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Jadi, nilai $\sec b = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ dan $\sin b = -\frac{1}{2}$.