Tentukan nilai tan 75+tan 15.

Nilai tan 75° + tan 15° adalah 4.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai tan 75° + tan 15°, kita bisa menggunakan identitas trigonometri.
Pertama, kita bisa menggunakan rumus jumlah dua sudut untuk tangen: tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A * tan B).
Kita tahu bahwa tan 75° = tan(45° + 30°) dan tan 15° = tan(45° - 30°).

Menghitung tan 75°:
tan 75° = (tan 45° + tan 30°) / (1 - tan 45° * tan 30°)
tan 75° = (1 + 1/√3) / (1 - 1 * 1/√3)
tan 75° = ((√3 + 1)/√3) / ((√3 - 1)/√3)
tan 75° = (√3 + 1) / (√3 - 1)
Untuk merasionalkan penyebutnya, kita kalikan dengan (√3 + 1)/(√3 + 1):
tan 75° = ((√3 + 1)(√3 + 1)) / ((√3 - 1)(√3 + 1))
tan 75° = (3 + 2√3 + 1) / (3 - 1)
tan 75° = (4 + 2√3) / 2
tan 75° = 2 + √3

Menghitung tan 15°:
tan 15° = (tan 45° - tan 30°) / (1 + tan 45° * tan 30°)
tan 15° = (1 - 1/√3) / (1 + 1 * 1/√3)
tan 15° = ((√3 - 1)/√3) / ((√3 + 1)/√3)
tan 15° = (√3 - 1) / (√3 + 1)
Untuk merasionalkan penyebutnya, kita kalikan dengan (√3 - 1)/(√3 - 1):
tan 15° = ((√3 - 1)(√3 - 1)) / ((√3 + 1)(√3 - 1))
tan 15° = (3 - 2√3 + 1) / (3 - 1)
tan 15° = (4 - 2√3) / 2
tan 15° = 2 - √3

Sekarang, menjumlahkan tan 75° + tan 15°:
tan 75° + tan 15° = (2 + √3) + (2 - √3)
tan 75° + tan 15° = 4

Cara lain menggunakan identitas tan(A+B) dan tan(A-B):
Kita tahu tan(A+B) + tan(A-B) tidak memiliki rumus sederhana. Namun, kita bisa melihat bahwa tan 75° = cot 15° dan tan 15° = cot 75°.
Jadi, tan 75° + tan 15° = cot 15° + tan 15°.

Kita tahu tan θ + cot θ = sin θ / cos θ + cos θ / sin θ = (sin^2 θ + cos^2 θ) / (sin θ cos θ) = 1 / (sin θ cos θ) = 2 / (2 sin θ cos θ) = 2 / sin(2θ).
Jadi, tan 15° + cot 15° = 2 / sin(2 * 15°) = 2 / sin(30°) = 2 / (1/2) = 4.