Tentukan turunan pertama dan kedua dari fungsi yang

Turunan pertama h'(x) = x / akar(x^2+1), turunan kedua h''(x) = 1 / (x^2+1)^(3/2).

Pembahasan

Untuk mencari turunan pertama dan kedua dari fungsi h(x) = akar(x^2+1), kita gunakan aturan rantai.

Turunan Pertama (h'(x)):
Misalkan u = x^2 + 1, maka h(u) = akar(u) = u^(1/2).
du/dx = 2x
dh/du = (1/2)u^(-1/2) = 1/(2*akar(u))

h'(x) = dh/du * du/dx = [1/(2*akar(x^2+1))] * (2x) = x / akar(x^2+1)

Turunan Kedua (h''(x)):
Kita akan menurunkan h'(x) = x / akar(x^2+1) menggunakan aturan hasil bagi (u/v)' = (u'v - uv') / v^2.
Misalkan u = x dan v = akar(x^2+1) = (x^2+1)^(1/2).

u' = 1
v' = (1/2)(x^2+1)^(-1/2) * (2x) = x / akar(x^2+1)

h''(x) = [1 * akar(x^2+1) - x * (x / akar(x^2+1))] / (akar(x^2+1))^2
h''(x) = [akar(x^2+1) - x^2 / akar(x^2+1)] / (x^2+1)

Untuk menyederhanakan pembilang, samakan penyebutnya:
Pembilang = [(x^2+1) / akar(x^2+1) - x^2 / akar(x^2+1)] = (x^2+1 - x^2) / akar(x^2+1) = 1 / akar(x^2+1)

Jadi, h''(x) = [1 / akar(x^2+1)] / (x^2+1) = 1 / [(x^2+1) * akar(x^2+1)] = 1 / (x^2+1)^(3/2)

Ringkasnya:
Turunan pertama: h'(x) = x / akar(x^2+1)
Turunan kedua: h''(x) = 1 / (x^2+1)^(3/2)