Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan |3x-1|<2|x+6|

Penyelesaian pertidaksamaan adalah $-2.2 < x < 13$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak $|3x-1|<2|x+6|$, kita dapat menggunakan beberapa metode. Salah satu metode yang umum adalah mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan.

Metode 1: Mengkuadratkan Kedua Sisi
Karena kedua sisi pertidaksamaan non-negatif (nilai mutlak selalu non-negatif), kita bisa mengkuadratkan kedua sisi:
$(|3x-1|)^2 < (2|x+6|)^2$
$(3x-1)^2 < 4(x+6)^2$

Buka kuadratnya:
$(9x^2 - 6x + 1) < 4(x^2 + 12x + 36)$
$9x^2 - 6x + 1 < 4x^2 + 48x + 144$

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:
$9x^2 - 4x^2 - 6x - 48x + 1 - 144 < 0$
$5x^2 - 54x - 143 < 0$

Sekarang, kita perlu mencari akar-akar dari persamaan kuadrat $5x^2 - 54x - 143 = 0$ menggunakan rumus kuadrat $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Di sini, a=5, b=-54, c=-143.

Diskriminan $(\Delta) = b^2 - 4ac = (-54)^2 - 4(5)(-143) = 2916 + 2860 = 5776$
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{5776} = 76$

Akar-akarnya adalah:
$x_1 = \frac{-(-54) + 76}{2(5)} = \frac{54 + 76}{10} = \frac{130}{10} = 13$
$x_2 = \frac{-(-54) - 76}{2(5)} = \frac{54 - 76}{10} = \frac{-22}{10} = -2.2$

Karena pertidaksamaan adalah $5x^2 - 54x - 143 < 0$, dan parabola $y = 5x^2 - 54x - 143$ terbuka ke atas (karena koefisien $x^2$ positif), maka nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah nilai-nilai di antara kedua akar.
Jadi, solusinya adalah $-2.2 < x < 13$.

Metode 2: Menggunakan Definisi Nilai Mutlak (Kasus)
Kita bisa membagi menjadi beberapa kasus berdasarkan tanda dari $3x-1$ dan $x+6$.
Titik kritisnya adalah $x = 1/3$ dan $x = -6$.

Kasus 1: $x < -6$
   $3x-1$ negatif, $x+6$ negatif.
   $-(3x-1) < 2(-(x+6))$
   $-3x+1 < -2x-12$
   $1+12 < -2x+3x$
   $13 < x$
   Ini kontradiksi dengan $x < -6$, jadi tidak ada solusi di kasus ini.

Kasus 2: $-6 \le x < 1/3$
   $3x-1$ negatif, $x+6$ non-negatif.
   $-(3x-1) < 2(x+6)$
   $-3x+1 < 2x+12$
   $1-12 < 2x+3x$
   $-11 < 5x$
   $-11/5 < x$
   $-2.2 < x$
   Jadi, solusinya adalah $-2.2 < x < 1/3$.

Kasus 3: $x \ge 1/3$
   $3x-1$ non-negatif, $x+6$ positif.
   $3x-1 < 2(x+6)$
   $3x-1 < 2x+12$
   $3x-2x < 12+1$
   $x < 13$
   Jadi, solusinya adalah $1/3 \le x < 13$.

Menggabungkan solusi dari kasus 2 dan kasus 3:
$(-2.2 < x < 1/3) \cup (1/3 \le x < 13)$
Ini sama dengan $-2.2 < x < 13$.

Kedua metode memberikan hasil yang sama. Penyelesaian pertidaksamaan adalah $-2.2 < x < 13$.