Tentukan persamaan bayangan parabola ekuivalen y^2-4=2x

Persamaan bayangan parabola adalah x = 1/4 y² - 7/2 y + 37/4.

Pembahasan

Soal ini melibatkan transformasi geometri: refleksi dan dilatasi pada sebuah parabola.

1.  **Refleksi terhadap garis y = 2:**
    Sebuah titik (x, y) yang direfleksikan terhadap garis y = k akan menghasilkan bayangan (x', y') dengan rumus:
x' = x
y' = 2k - y

    Dalam kasus ini, k = 2. Jadi, refleksinya adalah:
x' = x
y' = 2(2) - y = 4 - y

    Dari sini, kita dapatkan:
x = x'
y = 4 - y'

    Substitusikan ke persamaan parabola awal y² - 4 = 2x:
    (4 - y')² - 4 = 2x'
    16 - 8y' + (y')² - 4 = 2x'
    (y')² - 8y' + 12 = 2x'
    x' = 1/2 (y')² - 4y' + 6

    Persamaan parabola setelah refleksi (menghilangkan tanda aksen) adalah: x = 1/2 y² - 4y + 6.

2.  **Dilatasi dengan pusat P(-1, 1) dan faktor skala k = 2:**
    Sebuah titik (x, y) yang didilatasikan terhadap pusat (a, b) dengan faktor skala k menghasilkan bayangan (x'', y'') dengan rumus:
x'' - a = k(x - a)
y'' - b = k(y - b)

    Dalam kasus ini, (a, b) = (-1, 1) dan k = 2. Persamaan parabola sebelum dilatasi adalah x = 1/2 y² - 4y + 6.
    Untuk menerapkan dilatasi, kita perlu menyatakan x dan y dalam bentuk x'' dan y'':
x'' - (-1) = 2(x - (-1))  =>  x'' + 1 = 2(x + 1)  =>  x'' + 1 = 2x + 2  =>  2x = x'' - 1  =>  x = 1/2 x'' - 1/2
y'' - 1 = 2(y - 1)  =>  y'' - 1 = 2y - 2  =>  2y = y'' + 1  =>  y = 1/2 y'' + 1/2

    Substitusikan x dan y ini ke dalam persamaan parabola setelah refleksi:
    (1/2 x'' - 1/2) = 1/2 (1/2 y'' + 1/2)² - 4(1/2 y'' + 1/2) + 6

    Sekarang kita ekspansi:
    1/2 x'' - 1/2 = 1/2 [1/4 (y'')² + 2(1/2 y'')(1/2) + 1/4] - 2y'' - 2 + 6
    1/2 x'' - 1/2 = 1/2 [1/4 (y'')² + 1/2 y'' + 1/4] - 2y'' + 4
    1/2 x'' - 1/2 = 1/8 (y'')² + 1/4 y'' + 1/8 - 2y'' + 4

    Gabungkan suku-suku yang sejenis:
    1/2 x'' - 1/2 = 1/8 (y'')² + (1/4 - 2) y'' + (1/8 + 4)
    1/2 x'' - 1/2 = 1/8 (y'')² + (1/4 - 8/4) y'' + (1/8 + 32/8)
    1/2 x'' - 1/2 = 1/8 (y'')² - 7/4 y'' + 33/8

    Kalikan seluruh persamaan dengan 8 untuk menghilangkan pecahan:
    8 * (1/2 x'') - 8 * (1/2) = 8 * (1/8 (y'')²) - 8 * (7/4 y'') + 8 * (33/8)
    4x'' - 4 = (y'')² - 14y'' + 33

    Susun ulang menjadi bentuk standar persamaan parabola:
    4x'' = (y'')² - 14y'' + 33 + 4
    4x'' = (y'')² - 14y'' + 37
    x'' = 1/4 (y'')² - 14/4 y'' + 37/4
    x'' = 1/4 (y'')² - 7/2 y'' + 37/4

    Jadi, persamaan bayangan parabola ekuivalen y²-4=2x jika direfleksikan terhadap garis y=2, dilanjutkan dengan dilatasi [P(-1,1), k=2] adalah x = 1/4 y² - 7/2 y + 37/4.