Tentukan persamaan garis singgung kurva y=4x-x^2 yang tegak

Persamaan garis singgungnya adalah y = 2x + 1

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung kurva $y = 4x - x^2$ yang tegak lurus dengan garis $y = -rac{1}{2}x + 4$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. **Cari Gradien Garis yang Diberikan:**
Garis yang diberikan adalah $y = -rac{1}{2}x + 4$. Gradien ($m_1$) dari garis ini adalah koefisien dari $x$, yaitu $m_1 = -rac{1}{2}$.

2. **Tentukan Gradien Garis Singgung:**
Karena garis singgung tegak lurus dengan garis yang diberikan, maka hasil perkalian gradien keduanya adalah -1. Misalkan gradien garis singgung adalah $m_{gs}$.
$m_1 	imes m_{gs} = -1$
$(-rac{1}{2}) 	imes m_{gs} = -1$
$m_{gs} = rac{-1}{-rac{1}{2}} = 2$

3. **Cari Turunan Pertama dari Kurva:**
Untuk mencari gradien garis singgung pada kurva, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi $y = 4x - x^2$.
$rac{dy}{dx} = rac{d}{dx}(4x - x^2) = 4 - 2x$

4. **Tentukan Titik Singgung:**
Gradien garis singgung ($rac{dy}{dx}$) sama dengan gradien yang kita cari ($m_{gs} = 2$).
$4 - 2x = 2$
$4 - 2 = 2x$
$2 = 2x$
$x = 1$

Sekarang, substitusikan nilai $x=1$ ke dalam persamaan kurva untuk mencari nilai $y$ pada titik singgung:
$y = 4(1) - (1)^2 = 4 - 1 = 3$

Jadi, titik singgungnya adalah $(1, 3)$.

5. **Tentukan Persamaan Garis Singgung:**
Kita sudah memiliki gradien garis singgung ($m_{gs} = 2$) dan titik singgung $(x_1, y_1) = (1, 3)$. Kita bisa menggunakan rumus persamaan garis $y - y_1 = m(x - x_1)$.
$y - 3 = 2(x - 1)$
$y - 3 = 2x - 2$
$y = 2x - 2 + 3$
$y = 2x + 1$

Jadi, persamaan garis singgung kurva $y = 4x - x^2$ yang tegak lurus dengan garis $y = -rac{1}{2}x + 4$ adalah $y = 2x + 1$.