Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik di

Persamaan lingkaran adalah (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25 dengan pusat (1, -2) dan jari-jari 5.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik A(1,3), B(-3,-5), dan C(6,-2), kita dapat menggunakan bentuk umum persamaan lingkaran yaitu (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, di mana (a,b) adalah pusat lingkaran dan r adalah jari-jarinya. Kita juga bisa menggunakan bentuk umum x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0.

Langkah 1: Substitusikan koordinat ketiga titik ke dalam persamaan umum x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0.
Untuk titik A(1,3): 1^2 + 3^2 + A(1) + B(3) + C = 0 => 1 + 9 + A + 3B + C = 0 => A + 3B + C = -10 (Persamaan 1)
Untuk titik B(-3,-5): (-3)^2 + (-5)^2 + A(-3) + B(-5) + C = 0 => 9 + 25 - 3A - 5B + C = 0 => -3A - 5B + C = -34 (Persamaan 2)
Untuk titik C(6,-2): 6^2 + (-2)^2 + A(6) + B(-2) + C = 0 => 36 + 4 + 6A - 2B + C = 0 => 6A - 2B + C = -40 (Persamaan 3)

Langkah 2: Eliminasi C dari persamaan-persamaan tersebut.
Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
(-3A - 5B + C) - (A + 3B + C) = -34 - (-10)
-4A - 8B = -24
Bagi dengan -4: A + 2B = 6 (Persamaan 4)

Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 3:
(6A - 2B + C) - (-3A - 5B + C) = -40 - (-34)
9A + 3B = -6
Bagi dengan 3: 3A + B = -2 (Persamaan 5)

Langkah 3: Eliminasi A atau B dari Persamaan 4 dan 5.
Kalikan Persamaan 5 dengan 2:
6A + 2B = -4 (Persamaan 6)
Kurangkan Persamaan 4 dari Persamaan 6:
(6A + 2B) - (A + 2B) = -4 - 6
5A = -10
A = -2

Substitusikan A = -2 ke Persamaan 5:
3(-2) + B = -2
-6 + B = -2
B = 4

Langkah 4: Substitusikan nilai A dan B ke Persamaan 1 untuk mencari C.
A + 3B + C = -10
-2 + 3(4) + C = -10
-2 + 12 + C = -10
10 + C = -10
C = -20

Langkah 5: Tuliskan persamaan lingkaran.
Persamaan lingkaran adalah x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 => x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0.

Untuk mencari pusat dan jari-jari dari persamaan x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0:
Ubah ke bentuk (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 dengan melengkapkan kuadrat.
(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = 20
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 20 + 1 + 4
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25

Pusat lingkaran (a,b) adalah (1, -2) dan jari-jarinya (r) adalah akar dari 25, yaitu 5.

Grafik lingkarannya akan berpusat di (1, -2) dengan jari-jari 5. Anda dapat menggambar sumbu x dan y, menandai titik pusat, lalu menggambar lingkaran yang melewati titik-titik pada jarak 5 unit dari pusatnya. Titik-titik pada lingkaran meliputi (1+5, -2)=(6,-2), (1-5, -2)=(-4,-2), (1, -2+5)=(1,3), dan (1, -2-5)=(1,-7). Anda bisa memeriksa apakah titik A, B, dan C terletak pada lingkaran ini. Titik A(1,3) memenuhi (1-1)^2 + (3+2)^2 = 0^2 + 5^2 = 25. Titik B(-3,-5) memenuhi (-3-1)^2 + (-5+2)^2 = (-4)^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25. Titik C(6,-2) memenuhi (6-1)^2 + (-2+2)^2 = 5^2 + 0^2 = 25. Ketiga titik tersebut memang berada pada lingkaran.