Grafik fungsi y=(a-3) x^2+2ax+a+2 menyinggung sumbu X di

Panjang ruas garis PQ adalah (2/3)√37.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, pertama-tama kita harus mencari nilai 'a' agar fungsi kuadrat menyinggung sumbu X. Syarat suatu fungsi kuadrat menyinggung sumbu X adalah diskriminannya (D) sama dengan nol. Diskriminan diberikan oleh rumus D = b^2 - 4ac, di mana a, b, dan c adalah koefisien dari fungsi kuadrat ax^2 + bx + c.

Dalam kasus ini, fungsi kuadratnya adalah y = (a-3)x^2 + 2ax + a + 2. Jadi, kita memiliki:
a = a - 3
b = 2a
c = a + 2

Kita set diskriminan sama dengan nol:
D = (2a)^2 - 4(a-3)(a+2) = 0
4a^2 - 4(a^2 - a - 6) = 0
4a^2 - 4a^2 + 4a + 24 = 0
4a + 24 = 0
4a = -24
a = -6

Setelah mendapatkan nilai a = -6, kita bisa menulis ulang fungsi kuadratnya:
y = (-6-3)x^2 + 2(-6)x + (-6) + 2
y = -9x^2 - 12x - 4

Karena grafik menyinggung sumbu X di titik P, kita cari nilai x saat y = 0:
-9x^2 - 12x - 4 = 0
(3x + 2)^2 = 0
3x + 2 = 0
x = -2/3
Jadi, koordinat titik P adalah (-2/3, 0).

Selanjutnya, kita cari titik potong grafik dengan sumbu Y (titik Q). Ini terjadi saat x = 0:
y = -9(0)^2 - 12(0) - 4
y = -4
Jadi, koordinat titik Q adalah (0, -4).

Terakhir, kita hitung panjang ruas garis PQ menggunakan rumus jarak antara dua titik:
PQ = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
PQ = sqrt((0 - (-2/3))^2 + (-4 - 0)^2)
PQ = sqrt((2/3)^2 + (-4)^2)
PQ = sqrt(4/9 + 16)
PQ = sqrt(4/9 + 144/9)
PQ = sqrt(148/9)
PQ = (2/3)sqrt(37)

Jadi, panjang ruas garis PQ adalah (2/3)√37.