Carilah himpunan penyelesaian dari tiap sistem persamaan

Himpunan penyelesaiannya adalah $x = -7/2$, $y = -7$, $z = -4$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel tersebut, kita dapat menggunakan metode substitusi atau eliminasi. 

Sistem persamaannya adalah:
1) $x - \frac{y}{2} - \frac{z}{4} = 1$
2) $\frac{z}{3} - \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = -1$
3) $-\frac{x}{2} + \frac{y}{4} - \frac{z}{3} = \frac{4}{3}$

Langkah 1: Ubah persamaan agar tidak ada pecahan.
Kalikan persamaan (1) dengan 4:
$4x - 2y - z = 4$ (Persamaan 1')

Kalikan persamaan (2) dengan 6 (KPK dari 3 dan 2):
$2z - 2y + 3z = -6$
$-2y + 5z = -6$ (Persamaan 2')

Kalikan persamaan (3) dengan 12 (KPK dari 2, 4, dan 3):
$-6x + 3y - 4z = 16$ (Persamaan 3')

Sekarang kita punya sistem persamaan baru:
1') $4x - 2y - z = 4$
2') $-2y + 5z = -6$
3') $-6x + 3y - 4z = 16$

Langkah 2: Eliminasi salah satu variabel. Mari kita eliminasi $y$.
Kalikan Persamaan 1' dengan 3:
$12x - 6y - 3z = 12$
Kalikan Persamaan 2' dengan 2:
$-4y + 10z = -12$  (Oops, ini mengeliminasi y dari 1' dan 2'. Kita perlu melibatkan 3'.)

Mari kita eliminasi $y$ dari Persamaan 1' dan 3'.
Kalikan Persamaan 1' dengan 3:
$12x - 6y - 3z = 12$
Kalikan Persamaan 3' dengan 2:
$-12x + 6y - 8z = 32$
Jumlahkan kedua persamaan:
$(12x - 6y - 3z) + (-12x + 6y - 8z) = 12 + 32$
$-11z = 44$
$z = -4$

Langkah 3: Substitusikan nilai $z$ ke Persamaan 2' untuk mencari $y$.
$-2y + 5z = -6$
$-2y + 5(-4) = -6$
$-2y - 20 = -6$
$-2y = -6 + 20$
$-2y = 14$
$y = -7$

Langkah 4: Substitusikan nilai $y$ dan $z$ ke Persamaan 1' untuk mencari $x$.
$4x - 2y - z = 4$
$4x - 2(-7) - (-4) = 4$
$4x + 14 + 4 = 4$
$4x + 18 = 4$
$4x = 4 - 18$
$4x = -14$
$x = -14 / 4$
$x = -7/2$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $x = -7/2$, $y = -7$, dan $z = -4$.