Tentukan persamaan tali busur lingkaran L jika titik A(1,2)

Persamaan tali busur lingkaran tersebut adalah x - y + 1 = 0.

Pembahasan

Lingkaran L memiliki persamaan x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0. Untuk menentukan persamaan tali busur, kita perlu mencari pusat dan jari-jari lingkaran terlebih dahulu. Persamaan umum lingkaran adalah (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, di mana (a,b) adalah pusat dan r adalah jari-jari. Dari persamaan L, kita dapat mengubahnya menjadi bentuk umum:
(x^2 - 4x) + (y^2 - 2y) = 20
(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 20 + 4 + 1
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25
Jadi, pusat lingkaran L adalah (2, 1) dan jari-jarinya adalah 5.
Titik A(1,2) adalah titik tengah tali busur. Persamaan tali busur yang melalui titik tengah (x1, y1) pada lingkaran x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 adalah T = S1, di mana T adalah persamaan garis polar dan S1 adalah nilai substitusi titik A ke dalam persamaan lingkaran.
Persamaan garis polar T adalah: xx1 + yy1 + g(x+x1) + f(y+y1) + c = 0
Dari persamaan L: x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0, kita punya g = -2, f = -1, c = -20.
Substitusikan A(1,2) ke dalam persamaan lingkaran L untuk mendapatkan S1:
S1 = (1)^2 + (2)^2 - 4(1) - 2(2) - 20
S1 = 1 + 4 - 4 - 4 - 20
S1 = -23
Sekarang, substitusikan A(1,2) ke dalam persamaan garis polar T:
T = x(1) + y(2) - 2(x+1) - 1(y+2) - 20
T = x + 2y - 2x - 2 - y - 2 - 20
T = -x + y - 24
Karena tali busur lingkaran L memiliki titik tengah A(1,2), maka persamaan tali busurnya adalah T = S1.
-x + y - 24 = -23
-x + y - 24 + 23 = 0
-x + y - 1 = 0
Atau dapat ditulis sebagai x - y + 1 = 0.