Pada gambar di bawah, RS =2PQ, SU = PR, UQ =PQ , dan U

Soal ini cacat karena informasi yang diberikan tidak cukup untuk membuktikan kongruensi segitiga PQR dan URS, dan titik T tidak terdefinisi.

Pembahasan

Untuk membuktikan kekongruenan segitiga PQR dan URS, serta menentukan besar sudut yang diminta, kita akan menggunakan sifat-sifat segitiga dan garis sejajar.

Diketahui:
RS = 2PQ
SU = PR
UQ = PQ
U adalah titik tengah RQ.

a. Bukti Segitiga PQR kongruen Segitiga URS:

Kita perlu mencari tiga pasangan sisi atau sudut yang bersesuaian yang sama.

Perhatikan bahwa U adalah titik tengah RQ, sehingga RU = UQ.
Diketahui UQ = PQ, maka RU = PQ.

Kita juga diberi SU = PR.

Sekarang kita perlu mencari hubungan sisi ketiga atau sudut yang bersesuaian.
Karena U adalah titik tengah RQ, maka RQ = RU + UQ = 2RU (atau 2UQ).

Perhatikan perbandingan sisi yang diberikan:
RS = 2PQ
SU = PR
UQ = PQ

Dari UQ = PQ dan RS = 2PQ, kita dapatkan RS = 2UQ.
Karena U adalah titik tengah RQ, maka RU = UQ. Sehingga RS = 2RU.

Ini menunjukkan perbandingan sisi, bukan kesamaan sisi secara langsung untuk kongruensi SSS atau SAS.
Mari kita periksa kembali informasi yang diberikan atau asumsi yang mungkin tersirat.

Jika kita mengasumsikan ada informasi tambahan atau ada kesalahan penulisan, mari kita coba pendekatan lain.

Misalkan kita gunakan informasi U adalah titik tengah RQ. Ini berarti vektor $\vec{RU} = \vec{UQ}$.

Perhatikan informasi RS = 2PQ. Ini bisa ditulis sebagai $\vec{RS} = 2\vec{PQ}$ atau $\vec{RS} = -2\vec{QP}$.

Kita diberikan SU = PR. Ini bisa berarti panjang segmen SU sama dengan panjang segmen PR.

Mari kita pertimbangkan vektor.
Jika U adalah titik tengah RQ, maka $\vec{U} = \frac{\vec{R} + \vec{Q}}{2}$.
$\vec{RU} = \vec{U} - \vec{R} = \frac{\vec{R} + \vec{Q}}{2} - \vec{R} = \frac{\vec{Q} - \vec{R}}{2}$
$\vec{UQ} = \vec{Q} - \vec{U} = \vec{Q} - \frac{\vec{R} + \vec{Q}}{2} = \frac{\vec{Q} - \vec{R}}{2}$
Jadi $\vec{RU} = \vec{UQ}$, yang memang benar karena U titik tengah.

Kita juga punya SU = PR, yang berarti panjang $|\vec{SU}| = |\vec{PR}|$.
Dan RS = 2PQ, yang berarti panjang $|\vec{RS}| = 2|\vec{PQ}|$.
Dan UQ = PQ, yang berarti panjang $|\vec{UQ}| = |\vec{PQ}|$.

Dari $|\vec{UQ}| = |\vec{PQ}|$ dan $|\vec{RS}| = 2|\vec{PQ}|$, maka $|\vec{RS}| = 2|\vec{UQ}|$.
Karena RU = UQ, maka $|\vec{RS}| = 2|\vec{RU}|$.

Ini masih menunjukkan perbandingan sisi.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan lain. Jika soal ini berkaitan dengan kesebangunan atau sifat garis berat/median.

Jika kita kembali ke kongruensi, kita perlu kesamaan sisi atau sudut. SSS, SAS, ASA, AAS.

Kita punya:
1. RU = UQ (karena U titik tengah RQ)
2. SU = PR (diberikan)
3. UQ = PQ (diberikan)

Dari (1) dan (3), RU = UQ = PQ.

Sekarang kita bandingkan segitiga PQR dan URS.
Sisi-sisi segitiga PQR adalah PQ, QR, PR.
Sisi-sisi segitiga URS adalah UR, RS, SU.

Kita tahu:
UR = UQ = PQ
SU = PR

Kita perlu membandingkan sisi QR dengan RS, atau sudut-sudutnya.

Jika kita mengasumsikan ada kesalahan dalam soal dan seharusnya RS = PQ, maka kita bisa mendapatkan kongruensi.
Jika RS = PQ, maka:
UR = UQ = PQ = RS
SU = PR
Kita punya 3 pasang sisi: UR=PQ, UQ=RS (jika RS=UQ), SU=PR.
Ini belum tentu kongruen.

Mari kita cek lagi hubungan RS = 2PQ dan UQ = PQ.
Ini berarti RS = 2UQ.
Karena U titik tengah RQ, maka RU = UQ.
Jadi, RS = 2RU.

Jika kita mengasumsikan bahwa segitiga PQR dan URS sebangun, maka perbandingan sisinya harus sama.
Jika $\triangle PQR \sim \triangle URS$, maka $\frac{PQ}{UR} = \frac{QR}{RS} = \frac{PR}{US}$.
Kita tahu UR = UQ = PQ. Jadi $\frac{PQ}{UR} = 1$.
Ini berarti $\triangle PQR$ dan $\triangle URS$ kongruen.
Jika kongruen, maka $\frac{QR}{RS} = 1 
Arr QR = RS$, dan $\frac{PR}{US} = 1 
Arr PR = US$.

Namun, kita diberi RS = 2PQ, bukan RS = PQ.
Ini bertentangan dengan asumsi kongruensi langsung dari perbandingan sisi.

Mari kita perhatikan kembali soal aslinya. Ada kemungkinan ada gambar yang menyertai soal ini.
Jika tidak ada gambar, kita harus bekerja dengan informasi yang diberikan.

RS = 2PQ
SU = PR
UQ = PQ
U titik tengah RQ.

Karena U titik tengah RQ, maka RU = UQ.
Dari UQ = PQ, maka RU = PQ.
Dari RS = 2PQ, maka RS = 2RU.

Ini menunjukkan bahwa sisi RS dua kali lebih panjang dari sisi RU.

Mari kita coba gunakan vektor untuk membuktikan kesebangunan atau kongruensi.

Misalkan P adalah titik asal (0,0).
Misalkan $\vec{PQ} = 
$ dan $\vec{PR} = 
$. Maka $A=(a_1, a_2)$, $B=(b_1, b_2)$.
$PQ = |
|$, $PR = |
|$.
$PQ = |
|$, $RS = 2PQ$, $SU = PR$, $UQ = PQ$, $U$ titik tengah $RQ$.

Jika U titik tengah RQ, maka $\vec{PU} = \frac{\vec{PR} + \vec{PQ}}{2}$.
$\vec{RQ} = \vec{PQ} - \vec{PR}$.
$\vec{RU} = \frac{1}{2}\vec{RQ} = \frac{1}{2}(\vec{PQ} - \vec{PR})$.
$\vec{UQ} = \frac{1}{2}\vec{RQ} = \frac{1}{2}(\vec{PQ} - \vec{PR})$.

Kita diberi UQ = PQ. Maka $|
| = |
|$.
Ini berarti $|
| = |
|$.
\frac{1}{2}|
| = |
|$.
$|
| = 2|
|$.
Ini bertentangan dengan RS = 2PQ.

Ada kemungkinan soal ini memiliki kesalahan penulisan atau informasi yang saling bertentangan jika kita mencoba membuktikan kongruensi secara langsung.

Mari kita perhatikan hubungan sudut.
Jika kita mengasumsikan ada kesamaan sudut, misalnya karena garis sejajar.

Jika kita mengasumsikan bahwa $\triangle PQR \sim \triangle URS$, maka perbandingan sisinya $\frac{PQ}{UR} = \frac{PR}{US} = \frac{QR}{RS}$.
Kita punya UR = UQ = PQ. Maka $\frac{PQ}{UR} = 1$. Ini berarti harus kongruen.
Jika kongruen, maka $PR = US$ (diberikan) dan $QR = RS$. 
Namun, kita diberi RS = 2PQ. Jika kongruen, maka $QR = RS = 2PQ$. Juga $PQ = UR = PQ$. Maka $QR = 2UR$.
Ini konsisten jika QR adalah dua kali UR.

Mari kita coba buktikan kongruensi dengan asumsi bahwa informasi yang diberikan mengarah pada kongruensi, mungkin melalui teorema kesebangunan yang mengarah ke kongruensi.

Jika kita bisa membuktikan bahwa $\triangle PQR \sim \triangle URS$, dan kita tahu salah satu pasang sisi yang bersesuaian sama panjang (misalnya PR = SU), maka kedua segitiga tersebut kongruen.

Dari UQ = PQ dan U titik tengah RQ, maka RU = UQ = PQ.
Kita punya RS = 2PQ, jadi RS = 2RU.

Jika kita anggap ada kesalahan dalam soal dan seharusnya RS = PQ, maka:
UR = UQ = PQ = RS
SU = PR
Dengan SSS (jika QR = SU, yang tidak diketahui), atau SAS/ASA.

Mari kita kembali ke soal aslinya dan periksa kembali. Jika soal ini dari sumber terpercaya, kemungkinan ada cara melihatnya.

Jika kita menganggap SU sejajar PR, atau PQ sejajar UR, dll., itu akan membantu.

Tanpa informasi tambahan atau klarifikasi, membuktikan kongruensi $\triangle PQR \cong \triangle URS$ dengan informasi RS = 2PQ, SU = PR, UQ = PQ, dan U titik tengah RQ adalah sulit, karena perbandingan sisi tidak sama (RS = 2PQ).

Mungkin yang dimaksud adalah kesebangunan, bukan kongruensi?
Jika $\triangle PQR \sim \triangle URS$:
$\frac{PQ}{UR} = \frac{PR}{US} = \frac{QR}{RS}$
Kita tahu UR = UQ = PQ, jadi $\frac{PQ}{UR} = 1$.
Ini berarti $PR = US$ (diberikan) dan $QR = RS$.
Namun, kita diberi RS = 2PQ. Jika $QR = RS$, maka $QR = 2PQ$. 
Jika $QR = 2PQ$ dan $QR = 2UR$ (karena UR=PQ), ini konsisten.

Jadi, jika $\triangle PQR$ sebangun dengan $\triangle URS$ (dengan urutan tersebut), maka perbandingannya adalah 1:1, yang berarti kongruen.
Syarat kesebangunan:
Sudut yang bersesuaian harus sama. Atau perbandingan sisi.

Jika kita bisa menunjukkan $\angle PQR = \angle RUS$ (bertolak belakang jika P,U,S segaris dan Q,U,R segaris, tapi itu tidak dijamin) atau sudut lain.

Karena U adalah titik tengah RQ, maka RU = UQ.
Kita diberi UQ = PQ, maka RU = PQ.
Kita diberi RS = 2PQ, maka RS = 2RU.
Kita diberi SU = PR.

Jika $\triangle PQR \sim \triangle SUR$ (perhatikan urutan S, U, R):
$\frac{PQ}{SU} = \frac{QR}{UR} = \frac{PR}{SR}$
$\frac{PQ}{PR} = \frac{QR}{RU} = \frac{PR}{2PQ}$
Ini tidak membantu.

Jika $\triangle PQR \sim \triangle RUS$:
$\frac{PQ}{RU} = \frac{QR}{US} = \frac{PR}{RS}$
Kita tahu RU = PQ, jadi $\frac{PQ}{RU} = 1$.
Ini berarti $QR = US$ dan $PR = RS$.
Tetapi kita diberi RS = 2PQ. Jika $PR = RS$, maka $PR = 2PQ$.
Dan kita diberi SU = PR, jadi SU = 2PQ.

Ini adalah kemungkinan yang konsisten: $PR = SU = 2PQ$ dan $QR = RS = 2PQ$ dan $RU = UQ = PQ$.
Jika ini benar, maka $\triangle PQR$ memiliki sisi PQ, 2PQ, 2PQ (segitiga sama kaki). Dan $\triangle RUS$ memiliki sisi RU=PQ, US=2PQ, RS=2PQ (segitiga sama kaki).
Dalam kasus ini, kedua segitiga akan sebangun dengan perbandingan 1:1, sehingga kongruen.

Jika kongruen, maka sudut-sudut yang bersesuaian sama.
$\,\angle RPQ = \angle SRU$
$\,\angle PQR = \angle RUS$
$\,\angle PRQ = \angle RSU$

Dengan asumsi ini, kita bisa menjawab bagian b.

Asumsi: $\triangle PQR \cong \triangle RUS$ berdasarkan informasi yang diberikan mengarah pada kesebangunan dengan rasio 1:1.

b. Menentukan besar sudut:
1) $\angle RSU$
Karena $\triangle PQR \cong \triangle RUS$, maka $\angle PRQ = \angle RSU$.
Jika $\angle RPQ = a$, dan $\triangle PQR$ adalah segitiga sama kaki dengan PQ = RU = UR, PR = SU, dan jika kita mengasumsikan PQ = UR, PR=SU, QR=RS, maka $\triangle PQR$ sebangun $\triangle RUS$ dengan rasio 1:1.

Jika PR = SU dan PQ = RU (karena UQ=PQ dan U titik tengah RQ => RU=UQ), maka kita punya dua pasang sisi sama.
Kita perlu sisi ketiga atau sudut apit.
Kita punya RS = 2PQ. Jika kongruen, maka PQ=RU, PR=SU, QR=RS. Maka QR = 2PQ.

Jika $\angle RPQ = a$, dan $\triangle PQR$ sebangun $\triangle RUS$ dengan rasio 1:1, maka:
$\,\angle RPQ = \angle SRU = a$
$\,\angle PQR = \angle RUS$
$\,\angle PRQ = \angle RSU$

Karena U adalah titik tengah RQ, dan RS = 2RU, ini menunjukkan $\triangle RSU$ memiliki sisi yang dua kali lebih besar dari $\triangle RQU$ jika kita melihat dari R.

Kemungkinan besar soal ini mengacu pada teorema Thales atau sifat garis sejajar yang tidak disebutkan secara eksplisit.

Jika kita menganggap bahwa titik-titik tersebut membentuk konfigurasi tertentu yang mengarah pada kesebangunan yang kemudian menjadi kongruensi.

Mari kita fokus pada apa yang diberikan:
RU = UQ = PQ
SU = PR
RS = 2PQ = 2RU

Perhatikan $\triangle RSU$ dan $\triangle RPQ$.
Kita punya RU = PQ dan SU = PR.
Jika kita bisa menunjukkan $\angle UR S = \angle PRQ$ (sudut yang sama), maka dengan SAS, $\triangle RSU \sim \triangle RPQ$. 
Jika $\triangle RSU \sim \triangle RPQ$, maka $\frac{RU}{PQ} = \frac{RS}{PR} = \frac{SU}{QR}$.
Kita tahu RU = PQ, jadi $\frac{RU}{PQ} = 1$.
Maka $\frac{RS}{PR} = 1 
Arr RS = PR$. Tapi kita diberi RS = 2PQ.
Dan $\frac{SU}{QR} = 1 
Arr SU = QR$.

Ini kembali mengarah pada kontradiksi jika kita tidak mengasumsikan ada kesalahan.

Mari kita coba interpretasi lain: U titik tengah RQ. RS = 2PQ. SU = PR. UQ = PQ.
Ini berarti RU = PQ.
Dan RS = 2PQ.
Jadi RS = 2RU.

Dalam $\triangle RSU$, kita punya sisi RU, SU, RS.
Dalam $\triangle PQR$, kita punya sisi PQ, PR, QR.

Kita punya RU = PQ.
Kita punya SU = PR.
Kita punya RS = 2RU.

Ini adalah informasi yang konsisten.
Sekarang, mari kita perhatikan sudut-sudut.

a. Buktikan bahwa segitiga PQR kongruen segitiga URS
Untuk kongruensi, kita perlu kesamaan 3 sisi (SSS), 2 sisi 1 sudut apit (SAS), atau 2 sudut 1 sisi (ASA, AAS).

Kita punya RU = PQ, SU = PR.
Kita belum punya hubungan sisi ketiga atau sudut yang sama.

Jika kita mengasumsikan ada kesalahan dalam soal dan seharusnya RS = PQ, maka:
RU = PQ
SU = PR
RS = PQ
Dengan SSS, jika QR = SU, maka kongruen.
Jika kita pakai SAS, kita perlu sudut apit. $\angle R$ pada $\triangle RSU$ dan $\angle P$ pada $\triangle PQR$.
Jika $\angle R = \angle P$, dan RU=PQ, SU=PR, maka kongruen.

Mungkin ada informasi tentang kesejajaran yang tersirat dari gambar (jika ada).

Jika kita mengikuti soal persis seperti apa adanya, dan mencoba membuktikan kongruensi $\triangle PQR \cong \triangle URS$:
Kita punya RU = PQ (dari UQ=PQ dan U titik tengah RQ).
Kita punya SU = PR.
Kita perlu satu lagi kesamaan sisi atau sudut.
Kita tahu RS = 2PQ, jadi RS = 2RU.

Ini berarti sisi RS pada $\triangle RSU$ adalah dua kali sisi RU. Ini tidak memungkinkan kongruensi jika sisi-sisi yang bersesuaian adalah RU, SU, RS dan PQ, PR, QR.

Mungkin urutan segitiga yang benar untuk kongruensi berbeda?
Misalnya $\triangle PQR \cong \triangle SRU$?
Kita punya PQ = SR (tapi SR=2PQ, jadi tidak mungkin kecuali PQ=0).
PQ = RU (OK)
QR = US (tidak tahu)
PR = SU (OK)
Jika kongruen, maka QR = US.
Dan RS = PQ (tapi RS=2PQ).

Mari kita fokus pada bagian b, karena mungkin itu memberikan petunjuk.
Diketahui $\angle RPQ = a$.
1) Tentukan $\angle RSU$
2) Tentukan $\angle TUQ$

Perhatikan titik T. Di mana titik T? Soal menyebutkan T, tapi tidak mendefinisikannya.
Ini adalah masalah besar. Tanpa definisi titik T, soal bagian b tidak dapat dijawab.

Asumsi ada kesalahan penulisan soal. Kemungkinan besar soal ini merujuk pada teorema kesebangunan yang mengarah pada kongruensi, atau ada informasi yang hilang (misalnya gambar atau definisi T).

Jika kita mengabaikan bagian T dan fokus pada kongruensi PQR dan URS.

Jika kita benar-benar harus menjawab a. Buktikan bahwa $\triangle PQR \cong \triangle URS$. Dengan data RS = 2PQ, SU = PR, UQ = PQ, U titik tengah RQ.
Kita punya RU = PQ, SU = PR.
Kita tidak dapat membuktikan kongruensi secara langsung dari informasi ini.

Mungkin ada kesalahan dalam soal dan seharusnya RS = PQ.
Jika RS = PQ:
RU = PQ
SU = PR
RS = PQ
Dengan SSS (jika QR = SU), atau SAS (jika $\angle R = \angle P$).

Jika kita mengasumsikan soal ini benar dan ada cara untuk membuktikannya, mari kita pikirkan lagi.

Kemungkinan ada penggunaan vektor atau sifat geometri lain.

Jika kita menganggap ada gambar yang menyertai, dan dari gambar itu kita bisa menyimpulkan kesamaan sudut atau kesejajaran.

Tanpa gambar atau definisi T, soal ini tidak dapat dijawab dengan benar.

Namun, jika dipaksa untuk memberikan jawaban berdasarkan interpretasi yang paling mungkin (meskipun ada kekurangan):

Asumsi Soal yang Diperbaiki:
Kemungkinan besar, soal ini bermaksud membuktikan kesebangunan $\triangle PQR \sim \triangle SUR$ atau $\triangle PQR \sim \triangle RUS$ yang kemudian mengarah pada kongruensi karena rasio sisi adalah 1.

Jika $\triangle PQR \sim \triangle SUR$:
$\frac{PQ}{SU} = \frac{QR}{UR} = \frac{PR}{SR}$.
Kita punya RU = PQ, SU = PR, RS = 2PQ.
$\frac{PQ}{PR} = \frac{QR}{PQ} = \frac{PR}{2PQ}$.
Dari $\frac{PQ}{PR} = \frac{PR}{2PQ}$, maka $2(PQ)^2 = (PR)^2 
Arr PR = \sqrt{2} PQ$.
Ini tidak sesuai dengan SU = PR.

Jika $\triangle PQR \sim \triangle RUS$:
$\frac{PQ}{RU} = \frac{QR}{US} = \frac{PR}{RS}$.
Kita punya RU = PQ, SU = PR, RS = 2PQ.
$\frac{PQ}{PQ} = \frac{QR}{SU} = \frac{PR}{2PQ}$.
$1 = \frac{QR}{PR} = \frac{PR}{2PQ}$.
Dari $1 = \frac{PR}{2PQ}$, maka $PR = 2PQ$.
Dari $1 = \frac{QR}{PR}$, maka $QR = PR$.
Jadi, $QR = PR = 2PQ$.
Dan SU = PR, jadi SU = 2PQ.
Dan RS = 2PQ.
Dan RU = PQ.

Ini konsisten: PQ, QR=2PQ, PR=2PQ. Dan RU=PQ, US=2PQ, RS=2PQ.
Jika ini benar, maka $\triangle PQR$ dan $\triangle RUS$ memiliki sisi-sisi yang bersesuaian PQ, 2PQ, 2PQ. Maka kedua segitiga kongruen (SSS).

Dengan asumsi ini, kita bisa menjawab:

a. Bukti Kongruensi SSS:
Diketahui:
RU = PQ (karena U titik tengah RQ dan UQ = PQ)
SU = PR (diberikan)
RS = 2PQ (diberikan)
QR = PR (dari kesamaan $\frac{QR}{US}=1$ dan SU=PR)
Jadi QR = PR = 2PQ.

Perbandingan sisi-sisi $\triangle PQR$ adalah PQ : QR : PR = PQ : 2PQ : 2PQ = 1 : 2 : 2.
Perbandingan sisi-sisi $\triangle RUS$ adalah RU : US : RS = PQ : SU : RS = PQ : PR : 2PQ = PQ : 2PQ : 2PQ = 1 : 2 : 2.

Karena perbandingan ketiga sisi bersesuaian sama (1:1), maka $\triangle PQR \cong \triangle RUS$ (berdasarkan kesebangunan yang ternyata rasio 1:1).

b. Menentukan besar sudut:
1) $\angle RSU$
Karena $\triangle PQR \cong \triangle RUS$, maka sudut-sudut yang bersesuaian sama.
$\,\angle RPQ = \angle SRU$
$\,\angle PQR = \angle RUS$
$\,\angle PRQ = \angle RSU$

Jika $\angle RPQ = a$, maka $\angle SRU = a$.

2) $\angle TUQ$
Titik T tidak terdefinisi. Soal ini tidak dapat dijawab tanpa informasi tentang T.

Karena ada ketidakjelasan dan kemungkinan kesalahan dalam soal (terutama bagian T), saya tidak dapat memberikan jawaban yang sepenuhnya valid untuk bagian b.

Namun, jika kita mengabaikan T dan fokus pada pembuktian kongruensi, asumsi di atas harus dibuat.

Jika kita hanya diminta membuktikan kongruensi:
Kita punya RU = PQ, SU = PR.
Jika kita asumsikan $\angle R$ pada $\triangle RSU$ sama dengan $\angle P$ pada $\triangle PQR$, maka dengan SAS, $\triangle RSU \cong \triangle PQR$ jika $\angle SRU = \angle RPQ = a$.
Jika $\angle SRU = a$, maka RS=2RU.
Dalam $\triangle RSU$, dengan aturan kosinus:
$SU^2 = RU^2 + RS^2 - 2 
$SU^2 = RU^2 + (2RU)^2 - 2 
$. 
$PR^2 = RU^2 + 4RU^2 - 4 RU^2 
$
$PR^2 = 5RU^2 - 4 RU^2 
$. 
$PR^2 = RU^2 (5 - 4 
)$. 
$PR^2 = RU^2 (5 - 4 
)$. 

Jika $\triangle PQR \cong \triangle URS$, maka $\angle PRQ = \angle RSU$.

Jawaban untuk bagian A kemungkinan besar memerlukan asumsi kesebangunan yang mengarah ke kongruensi.

Karena soal ini memiliki ketidakjelasan yang signifikan (definisi T, dan bukti kongruensi yang tidak langsung), saya akan memberikan jawaban yang paling masuk akal dengan asumsi yang diperlukan.

Jawaban untuk Bagian a:
Untuk membuktikan $\triangle PQR \cong \triangle URS$, kita perlu menunjukkan kesamaan tiga pasang sisi atau sudut yang bersesuaian.
Diketahui:
1. U adalah titik tengah RQ, sehingga RU = UQ.
2. UQ = PQ, sehingga RU = PQ.
3. SU = PR (diberikan).
4. RS = 2PQ (diberikan).

Dari (2) dan (4), kita dapatkan RS = 2RU.
Ini menunjukkan bahwa sisi RS pada $\triangle RSU$ adalah dua kali panjang sisi RU. Jika $\triangle PQR \cong \triangle URS$, maka sisi-sisi yang bersesuaian harus sama panjang.

Kemungkinan besar ada kesalahan dalam soal atau informasi yang hilang. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa soal ini mengarah pada kesebangunan $\triangle PQR \sim \triangle RUS$ dengan rasio 1:1 (yang berarti kongruen), maka harus berlaku:
$\frac{PQ}{RU} = \frac{PR}{US} = \frac{QR}{RS} = 1$.
Ini mensyaratkan PQ = RU (terpenuhi), PR = US (terpenuhi), dan QR = RS.
Jika QR = RS, maka QR = 2PQ (karena RS = 2PQ).
Dengan demikian, sisi-sisi $\triangle PQR$ adalah PQ, 2PQ, PR.
Sisi-sisi $\triangle RUS$ adalah RU=PQ, US=PR, RS=2PQ.

Agar kongruen (SSS), haruslah PQ=RU, PR=US, QR=RS. Ini berarti QR = 2PQ.
Jika demikian, sisi $\triangle PQR$ adalah PQ, 2PQ, PR (dan PR = SU).
Dan sisi $\triangle RUS$ adalah RU=PQ, US=PR, RS=2PQ.

Jika kita asumsikan PR = 2PQ (agar sesuai dengan RS=2PQ dan QR=RS=2PQ), maka $\triangle PQR$ memiliki sisi PQ, 2PQ, 2PQ. $\triangle RUS$ memiliki sisi PQ, 2PQ, 2PQ. Maka $\triangle PQR \cong \triangle RUS$ (SSS).

Jadi, dengan asumsi bahwa PR = 2PQ dan QR = 2PQ, maka $\triangle PQR \cong \triangle RUS$ terbukti.

Jawaban untuk Bagian b:
Karena titik T tidak terdefinisi dalam soal, bagian b tidak dapat dijawab.
Jika kita mengasumsikan bahwa $\triangle PQR \cong \triangle RUS$ dan $\angle RPQ = a$, maka:
1) $\angle RSU = \angle PRQ$
Untuk menentukan $\angle PRQ$, kita perlu mengetahui sifat $\triangle PQR$. Jika $\triangle PQR$ adalah segitiga sama kaki dengan PQ=PR=2PQ (tidak mungkin) atau PQ=QR=2PQ (tidak mungkin) atau PR=QR=2PQ, maka kita bisa menghitung $\angle PRQ$.
Jika sisi-sisinya PQ, 2PQ, 2PQ, maka $\angle RPQ = a$ adalah sudut di antara dua sisi yang sama panjang (2PQ).
Dalam segitiga sama kaki, sudut yang berhadapan dengan sisi alas sama besar.
Jika PQ adalah alas, maka $\angle PRQ = \angle PQR = (180 - a)/2 = 90 - a/2$.
Maka $\angle RSU = 90 - a/2$.

Namun, asumsi PR=2PQ dan QR=2PQ berasal dari mencoba membuat kongruensi.

Jawaban yang paling jujur adalah bahwa soal ini cacat.

Jika kita mengabaikan bukti kongruensi dan hanya melihat perbandingan:
RU = PQ
SU = PR
RS = 2PQ

Jika kita mengasumsikan $\angle R$ adalah sudut yang sama di kedua segitiga (misal $\angle PRQ = \angle SRU$), maka $\triangle PQR$ tidak kongruen dengan $\triangle URS$ karena perbandingan sisi tidak sama.

Mungkin soal ini berkaitan dengan teorema intercept.

Jika kita diminta memberikan jawaban meskipun soalnya cacat:
Jawaban A:
Karena ada ketidaksesuaian dalam data (RS=2PQ sementara kesamaan sisi lain mengarah pada rasio 1:1 untuk kongruensi), bukti kongruensi $\triangle PQR \cong \triangle URS$ tidak dapat diberikan secara langsung dari informasi yang ada tanpa membuat asumsi tambahan (misalnya, PR = 2PQ dan QR = 2PQ, yang mengarah pada segitiga sama kaki).

Jawaban B:
Titik T tidak didefinisikan, sehingga pertanyaan mengenai $\angle TUQ$ tidak dapat dijawab.
Jika mengasumsikan $\angle RPQ = a$ dan $\triangle PQR$ adalah sama kaki dengan PQ, 2PQ, 2PQ, maka $\angle PRQ = 90 - a/2$. Jika $\triangle PQR \cong \triangle URS$, maka $\angle RSU = \angle PRQ = 90 - a/2$.

Ini adalah jawaban yang sangat spekulatif karena cacatnya soal.

Mengacu pada soal yang mungkin serupa atau standar, seringkali dalam kasus seperti ini ada kesamaan sudut atau kesejajaran yang tersirat.

Jika kita mengasumsikan bahwa $\triangle PQR$ dan $\triangle RUS$ memiliki $\angle R$ yang sama (sudut yang sama pada titik R), maka:
Kita punya sisi RU = PQ, SU = PR, RS = 2RU.
Dengan aturan kosinus, perbandingan sisi-sisi ini tidak akan menghasilkan kesamaan sudut yang diperlukan untuk kongruensi.

Saya akan memberikan jawaban yang mengakui ketidaklengkapan soal.

Jawaban A: Bukti kongruensi tidak dapat diberikan karena informasi yang diberikan (RS=2PQ) bertentangan dengan syarat kongruensi yang diturunkan dari informasi lain (RU=PQ, SU=PR, UQ=PQ).
Jawaban B: Titik T tidak terdefinisi, sehingga pertanyaan tidak dapat dijawab.