Tentukan semua nilai x yang memenuhi setiap persamaan

a. x = log₂3 - 1 dan x = 0. b. x = 1 - log₅32.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan a. 4^(x+1)-5 x 2^(x+1)=-6, kita bisa mengubah bentuk persamaan tersebut menjadi basis yang sama.
4^(x+1) = (2^2)^(x+1) = 2^(2x+2) = 2^(2x) * 2^2 = 4 * (2^x)^2
2^(x+1) = 2^x * 2^1 = 2 * 2^x
Misalkan y = 2^x, maka persamaan menjadi:
4 * (y^2) - 5 * (2 * y) = -6
4y^2 - 10y + 6 = 0
Bagi kedua sisi dengan 2:
2y^2 - 5y + 3 = 0
Faktorkan persamaan kuadrat:
(2y - 3)(y - 1) = 0
Maka, solusi untuk y adalah y = 3/2 atau y = 1.
Kembali ke substitusi y = 2^x:
Jika y = 3/2, maka 2^x = 3/2. Dengan menggunakan logaritma, x = log₂(3/2) = log₂3 - log₂2 = log₂3 - 1.
Jika y = 1, maka 2^x = 1. Ini berarti x = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan b. 3.125-4 x 5^(x+1)-5^(2x-2)=0, kita ubah dulu bentuknya:
3.125 = 3 + 1/8 = 25/8
5^(x+1) = 5^x * 5^1 = 5 * 5^x
5^(2x-2) = 5^(2x) * 5^(-2) = (5^x)^2 * (1/25) = (1/25) * (5^x)^2
Misalkan z = 5^x, maka persamaan menjadi:
25/8 - 4 * (5 * z) - (1/25) * z^2 = 0
25/8 - 20z - (1/25)z^2 = 0
Kalikan seluruh persamaan dengan 200 (KPK dari 8 dan 25) untuk menghilangkan pecahan:
(25/8) * 200 - 20z * 200 - (1/25)z^2 * 200 = 0
625 - 4000z - 8z^2 = 0
Susun ulang menjadi bentuk standar:
-8z^2 - 4000z + 625 = 0
Kalikan dengan -1:
8z^2 + 4000z - 625 = 0
Gunakan rumus kuadrat untuk mencari z: z = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
z = [-4000 ± sqrt(4000^2 - 4 * 8 * (-625))] / (2 * 8)
z = [-4000 ± sqrt(16000000 + 20000)] / 16
z = [-4000 ± sqrt(16020000)] / 16
z = [-4000 ± 4002.5] / 16
Kita mendapatkan dua nilai untuk z:
z1 = (-4000 + 4002.5) / 16 = 2.5 / 16 = 5/32
z2 = (-4000 - 4002.5) / 16 = -8002.5 / 16 (nilai negatif)
Karena z = 5^x, z harus positif. Jadi, kita gunakan z1 = 5/32.
5^x = 5/32
x = log₅(5/32) = log₅5 - log₅32 = 1 - log₅32

Jadi, solusi untuk persamaan a adalah x = log₂3 - 1 dan x = 0. Solusi untuk persamaan b adalah x = 1 - log₅32.