Tentukan semua pembuat nol kompleks dari polinomial

Akar: 2, 1+√3, 1-√3. Faktor: (x-2)(x-1-√3)(x-1+√3).

Pembahasan

Untuk menentukan semua pembuat nol kompleks dari polinomial P(x)=x³-4x²+2x+4, kita bisa mencoba mencari akar rasional terlebih dahulu menggunakan Teorema Faktor. Jika ada akar rasional p/q, maka p harus membagi konstanta 4 dan q harus membagi koefisien utama 1. Faktor dari 4 adalah ±1, ±2, ±4. Faktor dari 1 adalah ±1.

Mari kita coba beberapa nilai:
P(1) = 1³ - 4(1)² + 2(1) + 4 = 1 - 4 + 2 + 4 = 3 ≠ 0
P(-1) = (-1)³ - 4(-1)² + 2(-1) + 4 = -1 - 4 - 2 + 4 = -3 ≠ 0
P(2) = 2³ - 4(2)² + 2(2) + 4 = 8 - 16 + 4 + 4 = 0. Jadi, x=2 adalah salah satu akar (pembuat nol).

Karena x=2 adalah akar, maka (x-2) adalah faktor dari P(x). Kita bisa melakukan pembagian polinomial:
(x³ - 4x² + 2x + 4) / (x - 2) = x² - 2x - 2.

Sekarang kita perlu mencari akar dari polinomial kuadrat x² - 2x - 2 = 0. Kita bisa menggunakan rumus kuadratik: x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a
Dalam kasus ini, a=1, b=-2, c=-2.
x = [2 ± sqrt((-2)² - 4(1)(-2))] / 2(1)
x = [2 ± sqrt(4 + 8)] / 2
x = [2 ± sqrt(12)] / 2
x = [2 ± 2*sqrt(3)] / 2
x = 1 ± sqrt(3).

Jadi, akar-akarnya adalah 2, 1 + sqrt(3), dan 1 - sqrt(3).

Polinomial dapat difaktorkan sebagai P(x) = (x - 2)(x - (1 + sqrt(3)))(x - (1 - sqrt(3))).

Jawaban:
Pembuat nol kompleks dari P(x) adalah 2, 1 + sqrt(3), dan 1 - sqrt(3). Faktorisasi penuhnya adalah P(x) = (x - 2)(x - 1 - sqrt(3))(x - 1 + sqrt(3)).