Tentukan semua solusi yang mungkin dari tan(3/2

Solusi yang mungkin adalah t = 11π/18 dan t = 23π/18.

Pembahasan

Kita perlu mencari solusi dari persamaan tan(3/2 t - pi/4) = -√3 dalam interval 0 < t ≤ 2π.

Langkah 1: Cari sudut referensi.
Karena tan(θ) negatif, maka sudut θ berada di kuadran II atau IV.
Kita tahu bahwa tan(π/3) = √3. Jadi, sudut referensi adalah π/3.

Langkah 2: Cari solusi umum untuk 3/2 t - pi/4.
Di kuadran II, θ = π - π/3 = 2π/3.
Di kuadran IV, θ = 2π - π/3 = 5π/3.

Karena fungsi tangen periodik dengan periode π, solusi umumnya adalah:
3/2 t - π/4 = 2π/3 + nπ  atau  3/2 t - π/4 = 5π/3 + nπ, di mana n adalah bilangan bulat.

Untuk kasus pertama: 3/2 t - π/4 = 2π/3 + nπ
3/2 t = 2π/3 + π/4 + nπ
3/2 t = (8π + 3π)/12 + nπ
3/2 t = 11π/12 + nπ
t = (2/3) * (11π/12 + nπ)
t = 11π/18 + 2nπ/3

Untuk kasus kedua: 3/2 t - π/4 = 5π/3 + nπ
3/2 t = 5π/3 + π/4 + nπ
3/2 t = (20π + 3π)/12 + nπ
3/2 t = 23π/12 + nπ
t = (2/3) * (23π/12 + nπ)
t = 23π/18 + 2nπ/3

Langkah 3: Cari nilai t dalam interval 0 < t ≤ 2π.

Dari t = 11π/18 + 2nπ/3:
Jika n = 0, t = 11π/18
Jika n = 1, t = 11π/18 + 2π/3 = 11π/18 + 12π/18 = 23π/18
Jika n = 2, t = 11π/18 + 4π/3 = 11π/18 + 24π/18 = 35π/18 (ini > 2π)

Dari t = 23π/18 + 2nπ/3:
Jika n = 0, t = 23π/18
Jika n = 1, t = 23π/18 + 2π/3 = 23π/18 + 12π/18 = 35π/18 (ini > 2π)

Periksa kembali perhitungan.
Tan(3/2 t - pi/4) = -√3
Misalkan θ = 3/2 t - pi/4
tan(θ) = -√3
Solusi dasar untuk θ adalah 2π/3 dan 5π/3.

3/2 t - pi/4 = 2π/3 + kπ
3/2 t = 2π/3 + pi/4 + kπ
3/2 t = (8π + 3π)/12 + kπ
3/2 t = 11π/12 + kπ
t = (2/3) * (11π/12 + kπ)
t = 11π/18 + 2kπ/3

Untuk k=0, t = 11π/18
Untuk k=1, t = 11π/18 + 12π/18 = 23π/18

3/2 t - pi/4 = 5π/3 + kπ
3/2 t = 5π/3 + pi/4 + kπ
3/2 t = (20π + 3π)/12 + kπ
3/2 t = 23π/12 + kπ
t = (2/3) * (23π/12 + kπ)
t = 23π/18 + 2kπ/3

Untuk k=0, t = 23π/18

Periksa kembali bahwa solusi untuk tan(θ) = -√3 adalah θ = 2π/3 + nπ. Mari kita gunakan ini.
3/2 t - π/4 = 2π/3 + nπ
3/2 t = 11π/12 + nπ
t = 11π/18 + 2nπ/3

Untuk n=0, t = 11π/18
Untuk n=1, t = 11π/18 + 12π/18 = 23π/18

Perlu diperhatikan bahwa intervalnya adalah 0 < t ≤ 2π.
2π = 36π/18.

Solusi yang valid adalah t = 11π/18 dan t = 23π/18.

Jawaban akhirnya adalah solusi-solusi yang mungkin dari tan(3/2 t - pi/4) = -√3 dalam interval 0 < t ≤ 2π adalah 11π/18 dan 23π/18.