Tentukanlah nilai p dan q serta hasil baginya jika suku

Nilai p=11, q=18, dan hasil baginya adalah x²+2x-8.

Pembahasan

Kita perlu menentukan nilai p dan q serta hasil bagi jika suku banyak x⁴ - px² + qx - 8 habis dibagi dengan x² - 2x + 1.

Karena suku banyak habis dibagi oleh x² - 2x + 1, maka x² - 2x + 1 adalah faktor dari suku banyak tersebut. Perhatikan bahwa x² - 2x + 1 dapat difaktorkan menjadi (x - 1)².
Ini berarti (x - 1) adalah faktor berulang dua kali, yang menyiratkan bahwa x = 1 adalah akar ganda dari suku banyak tersebut.

Jika x = 1 adalah akar dari suku banyak P(x) = x⁴ - px² + qx - 8, maka P(1) = 0.
P(1) = (1)⁴ - p(1)² + q(1) - 8 = 0
1 - p + q - 8 = 0
-p + q - 7 = 0
p - q = -7  (Persamaan 1)

Jika x = 1 adalah akar ganda, maka turunan pertama dari suku banyak tersebut juga bernilai nol ketika x = 1. Turunan pertama P'(x) adalah:
P'(x) = 4x³ - 2px + q

Substitusikan x = 1 ke dalam P'(x):
P'(1) = 4(1)³ - 2p(1) + q = 0
4 - 2p + q = 0
-2p + q = -4  (Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel p dan q:
1) p - q = -7
2) -2p + q = -4

Jumlahkan Persamaan 1 dan Persamaan 2:
(p - q) + (-2p + q) = -7 + (-4)
p - 2p - q + q = -11
-p = -11
p = 11

Substitusikan nilai p = 11 ke dalam Persamaan 1:
11 - q = -7
-q = -7 - 11
-q = -18
q = 18

Jadi, nilai p = 11 dan q = 18.

Suku banyaknya menjadi: x⁴ - 11x² + 18x - 8.

Sekarang kita cari hasil baginya dengan membagi x⁴ - 11x² + 18x - 8 dengan x² - 2x + 1 menggunakan pembagian polinomial.

        x² + 2x - 8
      ________________
x²-2x+1 | x⁴ + 0x³ - 11x² + 18x - 8
        -(x⁴ - 2x³ +  x²)
        ________________
              2x³ - 12x² + 18x
            -(2x³ -  4x² +  2x)
            ________________
                   -8x² + 16x - 8
                 -(-8x² + 16x - 8)
                 ________________
                          0

Hasil baginya adalah x² + 2x - 8.

Jadi, nilai p = 11, nilai q = 18, dan hasil baginya adalah x² + 2x - 8.