Tentukan suku ke-n untuk barisan rumus bilangan berikut: c.

a. Un = 2 * 3^(n-1), b. Un = 400 * (1/2)^(n-1), c. Un = n(n+2)

Pembahasan

Untuk menentukan suku ke-n (Un) dari barisan bilangan yang diberikan, kita perlu mengidentifikasi pola dari masing-masing barisan.

a. Barisan: 2, 6, 18, 54, ...
Ini adalah barisan geometri karena setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio yang konstan.
Rasio (r) = Suku ke-2 / Suku ke-1 = 6 / 2 = 3
   Atau Suku ke-3 / Suku ke-2 = 18 / 6 = 3
Rumus suku ke-n barisan geometri adalah Un = a * r^(n-1), di mana a adalah suku pertama.
Di sini, a = 2 dan r = 3.
Maka, Un = 2 * 3^(n-1).

b. Barisan: 400, 200, 100, 50, ...
Ini juga merupakan barisan geometri.
Rasio (r) = Suku ke-2 / Suku ke-1 = 200 / 400 = 1/2
   Atau Suku ke-3 / Suku ke-2 = 100 / 200 = 1/2
Rumus suku ke-n adalah Un = a * r^(n-1).
Di sini, a = 400 dan r = 1/2.
Maka, Un = 400 * (1/2)^(n-1) = 400 * (1/2^n) * (1/2)^-1 = 400 * (1/2^n) * 2 = 800 * (1/2^n) = 800 / 2^n.

c. Barisan: 3, 8, 15, 24, ...
Mari kita cari selisih antara suku-suku yang berdekatan:
8 - 3 = 5
15 - 8 = 7
24 - 15 = 9
Selisihnya adalah 5, 7, 9, ... Ini adalah barisan aritmetika dengan beda 2.
Karena selisihnya membentuk barisan aritmetika, maka barisan aslinya adalah barisan kuadratik. Bentuk umum barisan kuadratik adalah Un = An^2 + Bn + C.
Mari kita cari nilai A, B, dan C.
Untuk n=1, U1 = A(1)^2 + B(1) + C = A + B + C = 3
Untuk n=2, U2 = A(2)^2 + B(2) + C = 4A + 2B + C = 8
Untuk n=3, U3 = A(3)^2 + B(3) + C = 9A + 3B + C = 15

Selisih antara persamaan:
(4A + 2B + C) - (A + B + C) = 8 - 3  => 3A + B = 5  (Persamaan 1)
(9A + 3B + C) - (4A + 2B + C) = 15 - 8 => 5A + B = 7  (Persamaan 2)

Selisih antara Persamaan 2 dan Persamaan 1:
(5A + B) - (3A + B) = 7 - 5
2A = 2
A = 1

Substitusikan A = 1 ke Persamaan 1:
3(1) + B = 5
3 + B = 5
B = 2

Substitusikan A = 1 dan B = 2 ke A + B + C = 3:
1 + 2 + C = 3
3 + C = 3
C = 0

Maka, rumus suku ke-n adalah Un = 1*n^2 + 2*n + 0 = n^2 + 2n = n(n+2).

Kita bisa cek:
Untuk n=1: U1 = 1(1+2) = 3
Untuk n=2: U2 = 2(2+2) = 8
Untuk n=3: U3 = 3(3+2) = 15
Untuk n=4: U4 = 4(4+2) = 24

Jadi, suku ke-n untuk masing-masing barisan adalah:
a. Un = 2 * 3^(n-1)
b. Un = 400 * (1/2)^(n-1) atau Un = 800 / 2^n
c. Un = n(n+2)