Tentukan turunan dari fungsi berikut.f(x)=((x+2)/(x-3))^3

Turunan dari f(x)=((x+2)/(x-3))^3 adalah f'(x) = -15(x+2)² / (x-3)⁴.

Pembahasan

Untuk menentukan turunan dari fungsi f(x) = ((x+2)/(x-3))^3, kita perlu menggunakan aturan rantai (chain rule) dan aturan hasil bagi (quotient rule).

Misalkan u = (x+2)/(x-3).
Maka f(x) = u³.
Menurut aturan rantai, f'(x) = du/dx * df/du.

Langkah 1: Cari turunan f terhadap u (df/du).
Jika f(u) = u³, maka df/du = 3u².

Langkah 2: Cari turunan u terhadap x (du/dx) menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan g(x) = x+2 dan h(x) = x-3.
Maka u = g(x)/h(x).
Menurut aturan hasil bagi, du/dx = [g'(x)h(x) - g(x)h'(x)] / [h(x)]².

Cari turunan g'(x) dan h'(x):
- g(x) = x+2  => g'(x) = 1
- h(x) = x-3  => h'(x) = 1

Substitusikan ke dalam rumus aturan hasil bagi:
du/dx = [(1)(x-3) - (x+2)(1)] / (x-3)²
du/dx = [x - 3 - x - 2] / (x-3)²
du/dx = -5 / (x-3)²

Langkah 3: Gabungkan hasil df/du dan du/dx.
f'(x) = (df/du) * (du/dx)
f'(x) = 3u² * [-5 / (x-3)²]

Langkah 4: Substitusikan kembali u = (x+2)/(x-3).
f'(x) = 3 * [ (x+2)/(x-3) ]² * [-5 / (x-3)²]
f'(x) = 3 * [ (x+2)² / (x-3)² ] * [-5 / (x-3)²]
f'(x) = -15 * (x+2)² / (x-3)⁴

Jadi, turunan dari fungsi f(x) = ((x+2)/(x-3))^3 adalah f'(x) = -15(x+2)² / (x-3)⁴.