Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB=6 cm, BC=8 cm,

2.4 cm

Pembahasan

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB=6 cm, BC=8 cm, dan AE=24 cm. Titik P, Q, R, dan S berturut-turut merupakan titik tengah garis AB, AD, EH, dan EF. 
Koordinat titik-titik bisa kita tentukan sebagai berikut (misalkan A=(0,0,0)): 
A=(0,0,0), B=(6,0,0), C=(6,8,0), D=(0,8,0), E=(0,0,24), F=(6,0,24), G=(6,8,24), H=(0,8,24). 
Titik tengah: 
P = tengah AB = (3,0,0) 
Q = tengah AD = (0,4,0) 
R = tengah EH = (0,4,24) 
S = tengah EF = (3,0,24) 
Bidang PORS dibentuk oleh titik P(3,0,0), O(pusat balok, misal di tengah alas AC=(3,4,0), sehingga kita bisa mempertimbangkan pusat O=(3,4,12)), R(0,4,24), S(3,0,24). Namun, untuk menentukan jarak antara dua bidang sejajar, kita perlu menentukan vektor normal kedua bidang dan jarak antara dua titik yang bersesuaian pada kedua bidang tersebut. 
Bidang BDGH memiliki diagonal BD dan BG. Vektor normal bidang BDGH bisa didapatkan dari perkalian silang vektor BD dan BG. 
BD = D - B = (0,8,0) - (6,0,0) = (-6, 8, 0) 
BG = G - B = (6,8,24) - (6,0,0) = (0, 8, 24) 
Vektor normal n = BD x BG = (8*24 - 0*8, 0*0 - (-6)*24, (-6)*8 - 8*0) = (192, 144, -48). Kita bisa sederhanakan menjadi (4, 3, -1). 
Bidang PORS memiliki titik P(3,0,0), O(pusat balok di tengah alas A=(0,0,0) adalah (3,4,0)), R(0,4,24), S(3,0,24). Vektor PQ = Q-P = (-3,4,0). Vektor PS = S-P = (0,0,24). Vektor normal bidang PORS = PQ x PS = (4*24 - 0*0, 0*0 - (-3)*24, (-3)*0 - 4*0) = (96, 72, 0). Kita bisa sederhanakan menjadi (4, 3, 0). 
Karena vektor normal kedua bidang tidak sejajar (yaitu (4, 3, -1) dan (4, 3, 0)), maka bidang PORS dan BDGH tidak sejajar. 
Namun, jika soal mengasumsikan P, Q, R, S adalah titik-titik yang membentuk bidang sejajar dengan alas dan tutup balok, maka kita bisa meninjau ulang. 
Mari kita asumsikan bidang PORS adalah bidang yang sejajar dengan bidang alas ABCD dan bidang EFGH. Dalam konteks ini, P adalah titik tengah AB, Q titik tengah AD, R titik tengah EH, S titik tengah EF. Bidang yang dibentuk oleh titik-titik ini bukanlah bidang yang sejajar dengan alas. 
Mari kita coba interpretasi lain: jika P, Q, R, S adalah titik-titik yang membentuk bidang sejajar dengan alas. Maka P mungkin titik tengah AB, Q titik tengah BC, R titik tengah FG, S titik tengah EH. Atau P titik tengah AE, Q titik tengah BF, R titik tengah CG, S titik tengah DH. 
Namun, berdasarkan deskripsi soal: P=tengah AB, Q=tengah AD, R=tengah EH, S=tengah EF. 
Bidang BDGH adalah bidang diagonal. 
Bidang PORS yang dibentuk oleh titik-titik tengah sisi-sisi balok. P(3,0,0), Q(0,4,0), R(0,4,24), S(3,0,24). 
Bidang ini sejajar dengan bidang ADHE dan BCGF. 
Bidang BDGH. 
Jarak antara bidang PORS dan bidang BDGH. 
Kita perlu mencari vektor normal dari kedua bidang. 
Untuk bidang PORS: Vektor PQ = Q-P = (-3, 4, 0). Vektor PR = R-P = (-3, 4, 24). Vektor normal n1 = PQ x PR = (4*24 - 0*4, 0*(-3) - (-3)*24, (-3)*4 - 4*(-3)) = (96, 72, 0). Disederhanakan menjadi (4, 3, 0). 
Persamaan bidang PORS: 4x + 3y + 0z = d. Melalui P(3,0,0): 4(3) + 3(0) = 12. Jadi, 4x + 3y = 12. 
Untuk bidang BDGH: Vektor DB = B-D = (6,0,0) - (0,8,0) = (6, -8, 0). Vektor DH = H-D = (0,8,24) - (0,8,0) = (0, 0, 24). Vektor normal n2 = DB x DH = (-8*24 - 0*0, 0*0 - 6*24, 6*0 - (-8)*0) = (-192, -144, 0). Disederhanakan menjadi (4, 3, 0). 
Karena kedua vektor normal sama (atau kelipatannya), maka kedua bidang sejajar. 
Persamaan bidang BDGH: 4x + 3y + 0z = d. Melalui D(0,8,0): 4(0) + 3(8) = 24. Jadi, 4x + 3y = 24. 
Jarak antara dua bidang sejajar Ax + By + Cz = D1 dan Ax + By + Cz = D2 adalah |D1 - D2| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2). 
Dalam kasus ini, A=4, B=3, C=0, D1=12, D2=24. 
Jarak = |12 - 24| / sqrt(4^2 + 3^2 + 0^2) = |-12| / sqrt(16 + 9) = 12 / sqrt(25) = 12 / 5 = 2.4 cm.