Tentukan turunan f'(x) dari bentuk-bentuk berikut!a.

a. f'(x) = 2x + 2, b. f'(x) = \(\frac{3x - 6}{2(x-1)\sqrt{x-1}}\)

Pembahasan

Berikut adalah turunan dari fungsi-fungsi yang diberikan:

a. **f(x) = x² + 2x + 3**
Menggunakan aturan pangkat untuk turunan (turunan dari xⁿ adalah nxⁿ⁻¹):
- Turunan dari x² adalah 2x¹ = 2x
- Turunan dari 2x adalah 2x⁰ = 2
- Turunan dari konstanta (3) adalah 0

Jadi, f'(x) = 2x + 2.

b. **f(x) = 3x / √(\(x-1\))**
Kita dapat menulis ulang fungsi ini sebagai f(x) = 3x(x-1)⁻¹/².
Untuk mencari turunannya, kita akan menggunakan aturan perkalian dan aturan rantai.

Aturan perkalian: (uv)' = u'v + uv'
Misalkan u = 3x dan v = (x-1)⁻¹/²

Turunan u (u'):
u' = 3

Turunan v (v'):
Kita gunakan aturan rantai: turunan dari [g(x)]ⁿ adalah n[g(x)]ⁿ⁻¹ * g'(x).
Di sini, g(x) = x-1, n = -1/2.
Turunan g(x) (g'(x)) adalah 1.

v' = (-1/2)(x-1)⁻¹/²⁻¹ * 1
v' = (-1/2)(x-1)⁻³/²
v' = -1 / (2\((\(x-1\))³/²\))

Sekarang terapkan aturan perkalian:
f'(x) = u'v + uv'
f'(x) = 3 * (x-1)⁻¹/² + 3x * [-1 / (2\((\(x-1\))³/²\))]
f'(x) = 3 / \((\(x-1\))¹/²\) - 3x / (2\((\(x-1\))³/²\))

Untuk menyederhanakan, kita samakan penyebutnya:
Samakan penyebut menjadi 2\((\(x-1\))³/²\).
Kalikan suku pertama dengan 2\((\(x-1\))¹/²\) / 2\((\(x-1\))¹/²\):
f'(x) = [3 * 2\((\(x-1\))¹/²\)] / [2\((\(x-1\))¹/²\) * \((\(x-1\))¹/²\)] - 3x / (2\((\(x-1\))³/²\))
f'(x) = 6\((\(x-1\))¹/²\) / (2\((\(x-1\))¹\)) - 3x / (2\((\(x-1\))³/²\))
f'(x) = 3\((\(x-1\))¹/²\) / \((\(x-1\))¹\) - 3x / (2\((\(x-1\))³/²\))

Ini belum benar. Mari kita samakan penyebutnya dari awal dengan 2\((\(x-1\))³/²\):

f'(x) = [3 / \((\(x-1\))¹/²\)] * [2\((\(x-1\))¹/²\) / 2\((\(x-1\))¹/²\)] - 3x / (2\((\(x-1\))³/²\))
f'(x) = [6\((\(x-1\))¹/²\) * \((\(x-1\))¹/²\)] / [2\((\(x-1\))¹/²\) * \((\(x-1\))¹/²\)] - 3x / (2\((\(x-1\))³/²\))
f'(x) = 6(x-1) / (2(x-1)²) - 3x / (2\((\(x-1\))³/²\))

Perbaikan langkah penyederhanaan:

f'(x) = 3 / \((\(x-1\))¹/²\) - 3x / (2\((\(x-1\))³/²\))

Untuk menyamakan penyebut, kita perlu mengalikan suku pertama dengan \((\(x-1\))¹\) / \((\(x-1\))¹\) atau \((\(x-1\))²/²\) / \((\(x-1\))²/²\).

Kalikan suku pertama dengan \((\(x-1\))¹\) / \((\(x-1\))¹\):
f'(x) = [3 \((\(x-1\))¹\)] / [\((\(x-1\))¹/²\) \((\(x-1\))¹\)] - 3x / (2\((\(x-1\))³/²\))
f'(x) = 3(x-1) / \((\(x-1\))³/²\) - 3x / (2\((\(x-1\))³/²\))

Sekarang, agar penyebutnya sama (2\((\(x-1\))³/²\)), kita kalikan suku pertama dengan 2/2:
f'(x) = [2 * 3(x-1)] / [2\((\(x-1\))³/²\)] - 3x / (2\((\(x-1\))³/²\))
f'(x) = (6x - 6) / (2\((\(x-1\))³/²\)) - 3x / (2\((\(x-1\))³/²\))
f'(x) = (6x - 6 - 3x) / (2\((\(x-1\))³/²\))
f'(x) = (3x - 6) / (2\((\(x-1\))³/²\))

Jadi, turunan dari f(x) = 3x / √(\(x-1\)) adalah \(\frac{3x - 6}{2(x-1)\sqrt{x-1}}\).