Tentukanlah akar-akar real dari persamaan: x^3+5x^2-2x-24=0

Akar-akar real dari persamaan tersebut adalah -4, -3, dan 2.

Pembahasan

Untuk mencari akar-akar real dari persamaan polinomial x³ + 5x² - 2x - 24 = 0, kita bisa menggunakan Teorema Akar Rasional. Teorema ini menyatakan bahwa jika sebuah polinomial memiliki akar rasional p/q (dimana p adalah faktor dari konstanta dan q adalah faktor dari koefisien utama), maka akar tersebut adalah salah satu dari kemungkinan faktor konstanta dibagi faktor koefisien utama.

Dalam kasus ini, koefisien utama adalah 1 dan konstanta adalah -24. Faktor-faktor dari -24 adalah ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24. Faktor-faktor dari 1 adalah ±1.

Jadi, kemungkinan akar rasional adalah ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24.

Mari kita coba substitusikan beberapa nilai:
Untuk x = 1: (1)³ + 5(1)² - 2(1) - 24 = 1 + 5 - 2 - 24 = -20 ≠ 0
Untuk x = 2: (2)³ + 5(2)² - 2(2) - 24 = 8 + 5(4) - 4 - 24 = 8 + 20 - 4 - 24 = -10 ≠ 0
Untuk x = -2: (-2)³ + 5(-2)² - 2(-2) - 24 = -8 + 5(4) + 4 - 24 = -8 + 20 + 4 - 24 = -8 ≠ 0
Untuk x = 3: (3)³ + 5(3)² - 2(3) - 24 = 27 + 5(9) - 6 - 24 = 27 + 45 - 6 - 24 = 42 ≠ 0
Untuk x = -3: (-3)³ + 5(-3)² - 2(-3) - 24 = -27 + 5(9) + 6 - 24 = -27 + 45 + 6 - 24 = 0

Karena x = -3 adalah akar, maka (x + 3) adalah faktor dari polinomial tersebut. Kita bisa menggunakan pembagian polinomial (sintetik atau bersusun) untuk mencari faktor lainnya.

Menggunakan pembagian sintetik dengan -3:
-3 | 1   5   -2   -24
   |    -3   -6    24
   ------------------
     1   2   -8     0

Hasil pembagiannya adalah x² + 2x - 8. Sekarang kita perlu mencari akar dari persamaan kuadrat x² + 2x - 8 = 0.

Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
(x + 4)(x - 2) = 0

Jadi, akar-akarnya adalah x = -4 dan x = 2.

Oleh karena itu, akar-akar real dari persamaan x³ + 5x² - 2x - 24 = 0 adalah -3, -4, dan 2.